45
ординат в предыдущей задаче, замечаем соответствие между
dy
→
dr
и
dx
→
r
d
ϕ
. Касательное напряжение на цилиндрической поверхности направлено в сто-
рону вращения. Элемент тензора напряжений
τ
r
φ
=
η(
∂v
φ
/
∂r
+
(∂v
r
/
∂
ϕ)/
r
). (1.70)
Из подобия треугольников
OAB
и
BCD
следует, что
dv
r
= -
v
φ
d
ϕ
или
∂v
r
/
∂
ϕ
= -
v
φ
.
Подставляя это значение
∂v
r
/
∂
ϕ
в (1.70), с учётом
v
φ
=
ω
r
получим
τ
rφ
=
η(
∂v
φ
/
∂r
-
v
φ
/
r
) = =
η
r
∂
ω
/
∂r
. (1.71)
Следовательно, вязкие напряжения исчезнут, как только все слои жидко-
сти будут вращаться с одинаковой угловой скоростью. При этом относительное
движение отсутствует, и жидкость вращается как твёрдое тело.
1.5.3. Вращательное движение и измерение вязкости η
Задача 1.
С целю измерения динамической вязкости жидкости η рас-
смотрим стационарное движение вязкой жидкости между двумя равномерно
вращающимися коаксиальными цилиндрами (рис. 21,
а
).
Рис. 21
Пусть
l
высота цилиндров,
R
1
и
R
2
- их радиусы, а
Ω
1
и
Ω
2
- угловые ско-
рости. Если
l
>>
R
2
-
R
1
, то краевыми эффектами можно пренебречь. Момент сил
вязкости жидкости на цилиндрической поверхности радиуса
r
с учётом (1.71)
будет
ϕ
Ω
2
Ω
2
R
1
R
2
r
Ω
1
R
2
R
1
r
l
Ω
2
а
б
