44
(
τ
-yx
= -
τ
yx
). Как следует из уравнения моментов сил (см. п. 2.3, гл. 2), тензор
напряжений является симметричным тензором второго ранга (
τ
yx
=
τ
xy
). Поэтому
касательные напряжения будут действовать не только в плоскостях параллельно
течению, но и в плоскостях, перпендикулярных ему:
τ
xy
=
τ
yx
=
η
(
∂v
x
/
∂y
). (1.66)
Если принять, что касательные напряжения зависят только от скоростей
деформаций жидкости и что эта зависимость линейна, то элементы тензора на-
пряжений для произвольного течения жидкости будут линейно зависеть только
от следующих шести величин:
∂v
x
/
∂y
;
∂v
y
/
∂x
;
∂v
y
/
∂z
;
∂v
z
/∂y
;
∂v
z
/
∂x
;
∂v
x
/
∂z
.
Причём
τ
xy
=
τ
yx
=
η
(
∂v
x
/
∂y
+
∂v
y
/
∂x
); (1.67)
τ
yz
=
τ
zy
=
η
(∂v
y
/
∂z
+
∂v
z
/
∂y
); (1.68)
τ
zx
=
τ
xz
=
η
(
∂v
z
/
∂x
+
∂v
x
/
∂z
). (1.69)
Рис. 20
Если жидкость несжимаема, то эти уравнения достаточны для вывода
дифференциальных уравнений движения жидкости. Если жидкость сжимаема,
то к ним нужно добавить ещё и выражения соответствующих нормальных на-
пряжений.
Отметим здесь, что при абсолютно неупругом ударе сталкивающиеся тела
ведут себя как вязкие жидкости.
Напряжения (силы) в этом случае зависят от скорости сближения центра
масс сталкивающихся тел. Поэтому, как только эта скорость превращается в
ноль, исчезают и напряжения, а значит, и силы, действующие между телами.
После такого удара тела двигаются вместе с нулевой относительной скоростью.
Рассмотрим вращательное движение вязкой жидкости вокруг неподвиж-
ной оси с угловой скоростью
ω
. Линии тока являются окружностями (рис. 20,
б
). Пусть
AB
бесконечно малый участок линии тока длиной
r·d
ϕ
. Сравнивая ци-
линдрическую систему координат в этой задаче с прямоугольной системой ко-
τ
yx
v
φ
v
φ
׀
d
φ
dv
r
D
C
A
B
v
φ
τ
-xy
τ
xy
r
A
B
d
φ
—
τ
–yx
O
а
б
