40
P
(
x
)
P
(
x
+
dx
)
X
dx
a
S
F
A
Q
б
Рис. 16
(
)
ρ /
grad
d dt
P
= −
v
f
. (1.59)
Это уравнение Л.Эйлера. Как и сле-
довало ожидать, когда жидкость нахо-
дится в равновесии ((
dv
/
dt
) =0) урав-
нение (1.59) переходит в (1.57).
Если нет массовых сил (f = 0), то
при равновесии давление в объёме и
на поверхности жидкости одинаково.
Это закон Паскаля (1623 – 1662 гг.).
Если жидкость находится в однород-
ном поле тяжести
ρ
=
f g
, то с учётом
(1.58) получим
(
)
(
)
(
)
0;
0;
ρ
P/ x P/ y
P/ z
g.
∂ ∂ = ∂ ∂ =
∂ ∂ =−
(1.60)
Давление зависит только от
z g
↑↓
.
Следовательно, если считать
const
g
=
,
то ρ тоже будет зависеть только от
z
(в случае сжимаемой жидкости). В со-
стоянии равновесия давление
P
жид-
кости (или газа) является однозначной
функцией от её плотности ρ =
m
/
V
и
температуры
Т
. Эта связь
P
=
f
(ρ,
Т
)
называется уравнением состояния.
Следовательно, величины
P
, ρ,
Т
будут однозначными функциями
z
. В случае
несжимаемой жидкости, интегрируя (1.60), получим
0
ρ
P= gz+P
−
, (1.61)
где постоянная величина
P
0
- давление на поверхности жидкости (при
z
= 0).
Если жидкость находится в механическом равновесии, то и произвольный
выделенный элемент (имеется в виду макроскопический элемент) этой
жидкости тоже будет в равновесии. Значит, результирующая сила всех дейст-
вующих на этот элемент внешних сил и их суммарный момент должны
равняться нулю.
На жидкость произвольного выделенного объёма действует сила его веса
Q
приложенная к её центру масс
A
и суммарная сила гидростатического давле-
ния
F
, оказываемая на поверхность
S
выделенного объёма со стороны окру-
жающей жидкости. Сила
F
также должна быть приложена к точке
A
, тогда
суммарный момент этих сил относительно точки
A
будет равен нулю (рис. 16,
б
). Поскольку сумма этих сил равна нулю, то их суммарный момент относи-
тельно любой другой точки также будет равен нулю.
