43
Определим изменение плотности жидкости при движении по трубке тока.
При
h
= const
(
)
2
2
2 2
1
1
2
2
2 1
1 2
/ 2 / ρ / 2 / ρ; Δ
ρ
/ 2
v P v P P P P v v
+ = +
= − = −
.
Поскольку плотность жидкости согласно уравнению состояния является
однозначной функцией её температуры и давления, то
∆
ρ = (
∂
ρ/
∂P
)
∆
P
=
∆
P
/
c
2
= ρ (
v
1
2
-
v
2
2
)/(2
c
2
), (1.65)
где
c
скорость звука в исследуемой жидкости. Очевидно, при
v
<<
c
;
∆
ρ << ρ.
Если трубка тока расположена на разных высотах
h
, то из (1.62) поя-
вится дополнительное условие
g
(
∆
h
)
max
<<
c
2
. Таким образом, если приве-
дённые условия выполняются, то сжимаемостью жидкости можно пренебречь.
1.5.2. Тензор напряжений вязкой, несжимаемой жидкости
Пусть
τ
yx
- касательная сила (напряжение), действующая на единицу
площади верхней границы тонкого слоя толщиной
dy
параллельного коорди-
натной плоскости
XOZ
(рис. 20,
а
) (см. п. 2.3, гл. 2).
Первый индекс элемента тензора напряжений показывает направление
внешней нормали к верхней границе слоя, а второй индекс – направление дей-
ствующей силы. Например,
τ
yx
означает напряжение на грани (плоскости),
внешней нормалью которой является положительное направление оси
Y
, а си-
ла эта направлена в сторону положительной оси
X
. Тогда, на основе (1.55) по-
лучим
τ
yx
=
η
(∂v
x
/
∂y
).
Эта формула справедлива и для неравномерного течения, когда скорость
v
x
зависит от времени. Касательное напряжение на нижней границе слоя
τ
-yx
направлено в сторону противоположную
τ
yx
и отличается от него (по модулю)
на бесконечно малую величину из-за бесконечной малости толщины слоя
dy
S
1
= π
d
1
2
/4
S
2
= π
d
2
2
/4
d
1
v
1
d
2
v
2
ρ ρ
P
2
Δ
h
P
1
P
1
-
P
2
= ρ
0
g
Δ
h
ρ
0
Рис. 19
