37
чения не рассматриваются). Дальнейшее движение тела произойдёт без потерь
энергии, с постоянной скоростью поступательного и вращательного движений,
определяемых из (1.49) и (1.46) для момента времени
t
=
t
c
:
v
xc
(
t
) =
v
x
(
t
c
) =
v
1
,
v
yc
(
t
) =
v
y
(
t
c
) = (5
v
2
– 2
ω
1
a
)/7 ,
v
z
(
t
) = 0; (1.51)
ω
xc
(
t
)
=
ω
x
(
t
c
)
=
ω
1
-
(
5/2
a
)
f
c
gt
c
= (2
ω
1
a
– 5
v
2
)/(7
a
),
ω
y
(
t
)
=
ω
2
,
ω
z
(
t
)
=
ω
3
. (1.52)
Характер движения шара зависит от знака скобки (5
v
2
– 2
ω
1
a
) = (1 -
K
)5
v
2
, где
K
=
I
ω
1
/(
mv
2
a
) есть отношение проекций моментов импульсов вращатель-
ного и поступательного движений шара относительно оси
x
в начальный мо-
мент времени.
Если
K
= 1 или 5
v
2
– 2
ω
1
a
= 0, то согласно (1.50)
t
0
=
t
c
и, как следует из
(1.51), (1.52), при переходе от скольжения к качению скорость поступатель-
ного движения
v
y
(
t
c
) будет равна нулю:
v
y
(
t
c
) = (5
v
2
– 2
ω
1
a
)/7 = 0.
Скорость вращательного движения вокруг оси
x
также будет нулевой:
ω
x
(
t
c
)
= (2
ω
1
a
– 5
v
2
)/(7
a
) = 0.
Останутся только вращение вокруг оси
y
, и верчение вокруг оси
z
. Значит,
шар будет катиться вдоль оси
x
с постоянной скоростью
v
1
=
ω
2
a
и вращаться
вокруг оси
z
с угловой скоростью
ω
3
(рис. 15).
Если 5
v
2
– 2
ω
1
a
< 0, то
t
0
<
t
c
, и в интервале времени
t
0
<
t
<
t
c
шар будет
скользить в отрицательном направлении оси y по параболе и после перехода (в
момент
t
=
t
c
) от скольжения к качению будет двигаться в том же направлении
по касательной к траектории прямой с постоянной скоростью
(
)
(
)
1
2
1
5 2ω / 7
x
y
v
v
a
= + −
v e
e
поступательного движения и постоянной угловой скоростью (1.52).
Если же 5
v
2
– 2
ω
1
a
> 0, то
t
0
>
t
c
. При
t
=
t
c
шар перейдёт в состояние ка-
чения, двигаясь далее в положительную сторону оси y с постоянными скоро-
стями поступательного и вращательного движений, определяемыми из (1.51) и
(1.52) (рис. 15).
Форма траектории однородного шара заданного радиуса зависит только от
отношения скоростей его поступательного и вращательного движений.
Перечисленные варианты движения шаров можно наблюдать на бильярд-
ном столе. Отметим, что учёт сил трений качения и верчения, в силу их мало-
сти, существенно не изменит полученные результаты.
Результаты исследования качения шара на горизонтальной плоскости,
вращающейся вокруг вертикальной оси по произвольному закону и переме-
щающейся произвольно поступательно, приводятся в работе [21].
1.4.2. Динамический метод изучения трения верчения
Если установить на вертикальную ось вращения горизонтального диска
(точка О на рис. 10,
б
, 14) однородный шар радиуса
a
и массы
m
и медленно
увеличивать угловую скорость вращения диска до определённого значения Ω
0
,
то, согласно полученным нами результатам (1.26) и (1.29), шар должен оста-
ваться неподвижным. Однако опыт показывает, что шар начинает ускоренное
