34
останется постоянной. Интегрируя (1.28) и учитывая начальные условия, по-
лучим закон изменения угловой скорости шара:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( )
ω ω 0 5 Ω
0 / 7
t
t
a
= +
−
R R
. (1.29)
Задача 2.
Определить траекторию движения однородного шара массы
m
и радиуса
a
, скользящего по горизонтальной неподвижной шероховатой пло-
ской поверхности. Коэффициент трения скольжения
f
c
≠ 0 (рис. 15).
Опыт показывает, что шар, скользящий по шероховатой неподвижной го-
ризонтальной поверхности, через некоторое время скольжения
t
c
начинает ка-
титься. Найдём решения уравнений Эйлера, описывающих такое движениу
твёрдого тела. Точка центра масс однородного шара совпадает с его геометри-
ческим центром. Введём вектор
e
, перпендикулярный плоскости, и вектор
r
,
соединяющий начало координат с точкой
P
касания шара и плоскости. Радиус-
вектор центра масс шара в этих обозначениях будет
a
= +
R r e
,
где
а
- радиус
шара. Так как
const
=
e
то первого и второго порядка производные по времени
от векторов
R
и
r
будут соответственно равны
′ ′=
R r
и
′′ ′′=
R r
. Пусть
( )
t
u
скорость точки шара
P
, касающейся плоскости, а
( ) ( )
/
t u t
=
P
e u
- еди-
ничный вектор этой скорости. Тогда силу трения скольжения можно предста-
вить в виде
c
P
f mg
=−
T e
, (1.30)
а силу реакции плоскости выражением
m
= +
N g T
.
Уравнения Эйлера в этом случае имеют вид
m
′′ =
r T
(1.31)
ω ,
I
a
′
⋅ =−
e T
. (1.32)
Кроме того, скорость центра шара
С
связана со скоростью движения точки ка-
сания
P
соотношением
[ ]
[ ]
ω,
ω,
a
a
′
′
= −
= −
u R e r
e
. (1.33)
Дифференцируя (1.33) и преобразуя правую часть с учётом (1.30), (1.31),
(1.32), (1.13), получим
(
)
7 / 2
c P
f g
′ =−
u
e
. (1.34)
Следовательно, вектор ускорения
u
′
имеет значение
(
)
7 / 2
c
u = f g
′ −
. (1.35)
Он не зависит от времени, направлен против вектора скорости
u
, уменьшает ее
модуль, но не изменяет направление орта:
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 / 0 /
/
const
P
u
u t u t
=
= =
= =
e u
u u
c
,
(1.36)
где
( )
0
0
=
u u
- начальное значение вектора скорости скольжения. Интегрируя
(1.35), для интервала времени скольжения 0 ≤
t
≤
t
с
получим
u
(
t
) =
u
0
- (7/2)
f
c
gt
, (1.37)
где
t
с
= (2
u
0
)/(7
f
c
g
). (1.38)
