33
Или окончательно
(
)
2 / 7 Ω,
′′
′
=
R
R
. (1.18)
Чтобы решить это однородное векторное дифференциальное уравнение
второго порядка и первой степени, то есть найти явный вид функции
( )
t
R
, не-
обходимо записать его в проекциях и задать начальные условия в момент вре-
мени
t
= 0. Предположим, что в начальный момент времени
t
= 0:
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 ;
0 Ω,
t
t
′
′
= =
= =
R R R R R
R
.
В этом случае как следует из (1.9)
( )
ω 0 ,
0
=
e
. (1.19)
Это значит, что в начальный момент времени угловая скорость шара
( )
ω 0 0
=
или
( )
ω 0
e
. То есть в начале отсчёта времени шар либо не вращался вовсе,
либо вращался вокруг центральной вертикальной оси (происходило верчение).
Пусть координаты начальной точки касания
M
0
:
x
0
,
y
0
, 0, то есть плоскость
xoy
совпадает с вращающейся плоскостью. Уравнение (1.18) в проекциях будет
(
)
(
)
2 / 7 Ω 2 / 7 Ω;
0
x = y ; y = x z =
′′
′
′′
′
′′
−
. (1.20)
Общее решение системы уравнений (1.20) имеет вид [18]
x
(
t
) = - (7/2)
y
0
sin((2/7)Ω
t
) + (7/2)
x
0
cos((2/7)Ω
t
) - (5/2)
x
0
; (1.21)
y
(
t
) = (7/2)
y
0
cos((2/7)Ω
t
) + (7/2)
x
0
sin((2/7)Ω
t
) - (5/2)
y
0
; (1.22)
z
(
t
) = 0.
Чтобы определить траекторию точки касания шара с плоскостью, исклю-
чим из уравнений (1.21) и (1.22) время
t
.
Таким образом,
(
x
(
t
) + (5/2)
x
0
)
2
= (7/2)
2
( -
y
0
sin((2/7)Ω
t
) +
x
0
cos((2/7)Ω
t
))
2
; (1.23)
(
y
(
t
) + (5/2)
y
0
)
2
= (7/2)
2
(
y
0
cos((2/7)Ω
t
) +
x
0
sin((2/7)Ω
t
))
2
. (1.24)
Суммируя (1.23) и (1.24), получим уравнение окружности на плоскости
xoy
:
(
x
(
t
) + (5/2)
x
0
)
2
+ (
y
(
t
) + (5/2)
y
0
)
2
= (7/2)
2
(
x
0
2
+
y
0
2
). (1.25)
Это окружность с центром в точке C( - 5
x
0
/2, - 5
y
0
/2, 0) и радиусом
R
= (7/2)(
x
0
2
+
y
0
2
)
1/2
= (7/2)
R
0
. (1.26)
Как следует из полученных результатов, координаты центра окружности и
его радиус зависят от начальных координат точки касания шара, однако угловая
частота вращения шара по этой окружности не зависит от начальных условий и
при отсутствии скольжения всегда равна (2/7)Ω.
Найдём угловую скорость вращения шара относительно центральной оси.
Представим уравнение (1.7) в виде
( )
(
)
( )
ω
,
,
a/I
a/I
⊥
′
=−
+ =−
e N N
e N
. (1.27)
С учётом (1.17), воспользовавшись равенством (1.13), получим
( )
ω 5 Ω / 7
a
′
′
=
R
. (1.28)
То есть вектор углового ускорения находится в горизонтальной плоскости, так
как вектор
′
R
принадлежит ей. Значит, со временем будет меняться только го-
ризонтальная составляющая угловой скорости, а ее вертикальная составляющая
