90
2
0
1 )
(
i
i
t
p
.
Проведем анализ системы в момент времени
t
, задав малое приращение
времени
t
, и найдем вероятность
p
1
(
t
+
t
) того, что система в момент времени (
t
+
t
) будет, находиться в состоянии
S
1
, которое достигается разными вариантами:
а) система в момент
t
с вероятностью
p
1
(
t
) находилась в состоянии
S
1
и за
малое приращение времени
t
так и не перешла в другое соседнее состояние –
ни в
S
0
, ни в
S
2
. Вывести систему из состояния S
1
можно суммарным простей-
шим потоком с интенсивностью (
10
+
12
), поскольку суперпозиция простей-
ших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероят-
ность выхода из состояния
S
1
за малый промежуток времени
t
приближенно
равна (
10
+
12
)
t
. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна
[1
(
10
+
12
)
t
]. В соответствии с этим вероятность того, что система останет-
ся в состоянии S
1
на основании теоремы умножения вероятностей, равна:
p
l
(
t
) [1
(
10
+
12
)
t
];
б) система находилась в соседнем состоянии
S
0
и за малое время
t
пе-
решла в состояние
S
1
. Переход системы происходит под воздействием потока
01
с вероятностью, приближенно равной
01
t
. Вероятность того, что система
будет находиться в состоянии
S
1
, этом варианте равна
p
o
(t)
01
t
;
в) система находилась в состоянии
S
2
и за время
t
перешла в состояние
S
1
под воздействием потока интенсивностью
21
с вероятностью, приближенно
равной
21
t
. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии
S
1
,
равна
p
2
(
t
)
21
t
.
Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим
выражение:
,
λ
)(
λ
)
(
)
λ
λ
( 1
)
(
)
(
21
2
01
0
12
10
1
1
t
tp
t
tp t
t
p
t
t
p
которое можно записать иначе:
).
λ λ
)(
(
λ
)(
λ
)(
)
(
)
(
12
10
1
21
2
01
0
1
1
tp
tp
t
p
t
t
p t
t
p
Переходя к пределу при
t
0, приближенные равенства перейдут в
точные, и тогда получим производную первого порядка
),
λ λ
(
λ
λ
12
10
1
21 2
01 0
1
p
p
p
dt
dp
что является дифференциальным уравнением.
