89
ми потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание систе-
мы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность
p
i
(t) того, что система будет находиться в состоянии
S
i
в момент времени
t
,
называется вероятностью
i
-го состояния СМО и определяется числом посту-
пивших заявок
k
на обслуживание.
Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в
случайные моменты времени
t
o
,
t
1
,
t
2
,...,
t
k
, ...,
t
n
система оказывается в том или
другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая слу-
чайная последовательность событий называется марковской цепью, если для
каждого шага вероятность перехода из одного состояния
S
i
любое другое
S
j
, не
зависит от того, когда и как система перешла в состояние
S
i
. Описывается мар-
ковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную
группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода
не зависит от номера
k
, то марковская цепь называется однородной. Зная
начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятности состоя-
ний для любого значения
k
– числа заявок, поступивших на обслуживание.
5.3. Уравнения Колмогорова
Переход СМО из одного состояния в другое происходит случайным об-
разом и представляет собой случайный процесс. Работа СМО – случайный про-
цесс с дискретными состояниями, поскольку его возможные состояния во вре-
мени можно заранее перечислить. Причем переход из одного состояния в дру-
гое происходит скачкообразно, в случайные моменты времени, поэтому он
называется процессом с непрерывным временем. Таким образом, работа СМО
представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непре-
рывным временем. Для описания процессов с непрерывным временем исполь-
зуется модель в виде так называемой марковской цепи с дискретными состоя-
ниями системы, или непрерывной марковской цепью.
Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса
с дискретными состояниями системы
S
0
,
S
1
,
S
2
(см. рис. 5.1) и непрерывным вре-
менем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состоя-
ния
S
i
в состояние
S
j
происходят под воздействием простейших потоков событий
с интенсивностями
ij
, а обратный переход – под воздействием другого потока
ji
. Введем обозначение
р
i
как вероятность того, что в момент времени
t
система
находится в состоянии
S
i
,. Для любого момента времени
t
справедливо записать
нормировочное условие – сумма вероятностей всех состояний равна единице
