79
AD
переносится на прямую
АВ
. Полученная при этом точка
Е
делит
отрезок
АВ
в соотношении золотой пропорции.
Свойства золотого сечения описываются уравнением
x
2
–
x
– 1 = 0
.
Решение этого уравнения
2
5 1
2
,1
x
.
3.6. Графическое решение уравнений
Действительные корни уравнения
0
)
(
x
f
(3.26)
приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика
функция
)(
x
f
y
с осью
Ох
. Если уравнение (3.26) не имеет близких между
собой корней, то этим способом его корни легко отделяются.
На практике часто бывает выгодно уравнение (3.26) заменить
равносильным ему уравнением
)(
)(
xv
xu
,
(3.27)
где функции
u
(
x
) и
v
(
x
)
более простые, чем функция
)
(
x
f
.Тогда,
построив графики функций
y
=
u
(
x
) и
y
=
v
(
x
), искомые корни получим как
абсциссы точек пересечения этих графиков.
Нахождение корней уравнения
u
(
x
) =
v
(
x
) упрощается, если одна из
функций
u
(
x
) или
v
(
x
) линейная, то есть, например,
u
(
x
) =
ax
+
b
. Этот
метод особенно эффективен при решении ряда однотипных уравнений,
отличающихся только коэффициентами
a
и
b
линейной функции. В этом
случае графическое построение сводится к нахождению точек
пересечения фиксированного графика
y
=
v
(
x
) с различными прямыми.
Отметим, что, хотя графические методы решения уравнений весьма
удобны и сравнительно просты, но они, как правило, применимы лишь
для грубого определения корней.
3.7. Примеры
Пример 3.1
Отделить корни уравнения
0
2
6
)
(
3
x
x
x
f
.
Решение
. Построим таблицу 3.1.
Таблица 3.1
Нахождение интервалов, содержащих действительные корни
x
-3
-1
0
1
3
)
(
xf
–
–
+
+
–
+
+
Из нее видно, что уравнение
0
2
6
)
(
3
x
x
x
f
имеет три
действительных корня, лежащих в интервалах (–3, –1), (0, 1) и (1, 3).
