74
Доказательство. Пусть, например,
0 )
(
,0
)( ,0
)
(
,0 )(
x
f
x
f
b
f
xf
при
b
x
a
(остальные случаи рассматриваются аналогично). Согласно
неравенству (3.8), имеем
0 ) (
0
xf
(например, можно принять
b x
0
).
Методом математической индукции докажем, что все приближения
...)2,1,0 (ξ
n
x
n
и, следовательно,
.0
) (
n
xf
В самом деле, прежде всего,
.ξ
0
x
Пусть теперь
.ξ
xn
Положим
.
ξ
ξ
n
n
x
x
Применяя формулу
Тейлора, получим
,
)
ξ)( (
2
1
)
ξ)( (
) (
)
ξ(
0
2
n
n
n
n
n
x
c f
x
x f
x
f
f
(3.9)
где
.
ξ
n
n
x
c
Так как
,0
)
(
x
f
то имеем
0
)
)( (
) (
n
n
n
x
ξ
x
f
x
f
и, следовательно,
ξ
) (
) (
1
n
n
n
n
x f
xf
x
x
.
Что и требовалось доказать.
Из формулы (3.7), учитывая знаки
)
(
n
xf
и
),
(
n
x
f
имеем
...),
,1,0 (
1
n x x
n
n
т.е. последовательные приближения
,...
,...,
,
1
0
n
x
x
x
образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность.
Следовательно, существует
n
x
x
lim ξ
.
Переходя к пределу в равенстве (3.7), будем иметь
,
)ξ(
)ξ
(
ξ ξ
f
f
т.е.
0 )ξ(
f
. Отсюда
ξ
ξ
, что и требовалось доказать.
Поэтому, применяя метод Ньютона, следует руководствоваться
следующим правилом
: в качестве исходной точки
0
x
выбирается тот
конец интервала
,
,
b
a
которому отвечает ордината того же знака, что
и знак
). (
x
f
3.4. Метод итерации
Одним из наиболее важных способов численного решения
нелинейных уравнений является метод итерации (последовательных
приближений). Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть
дано уравнение
,0
)(
xf
(3.10)
где
)
(
xf
– непрерывная функция, и требуется определить его
вещественные корни. Заменим уравнение (3.10) равносильным
уравнением
). (
x
x
(3.11)
