77
Применяя теорему Лагранжа, будем иметь
)
(
1
1
n
n
n
n
x x
x
x
’
) (
n
x
,
где,
).
,
(
1
n
n
n
x
x
x
Следовательно, на основании условия (3.15) получим:
.
1
1
n
n
n
n
x
x
q x x
(3.18)
Отсюда, давая значения
..., 3,2
,1
n
последовательно выводим:
0
1
1
2
x x
q
x
x
,
0
1
2
1
2
2
3
x x
q x xq
x x
,
. . . . . . . . . . .
0
1
1
x
x
q x
x
n
n
n
.
(3.19)
Рассмотрим ряд
...,
)
( .
..
)
( )
(
1
1 2
0
1
0
n
n
x x
x
x x x
x
(3.20)
для которого наши последовательные приближения
n
x
являются
)1
(
n
-ми
частными суммами, т.е.
1
n
n
S x
.
В силу неравенства (3.19) члены ряда (3.20) по абсолютной величине
меньше соответствующих членов геометрической прогрессии со
знаменателем
,1
q
поэтому ряд (3.20) сходится, притом абсолютно.
Следовательно существует
,ξ
lim
lim
1
n
n
n
n
x
S
причем, очевидно,
.
,
ξ
b
a
.
Переходя к пределу в равенстве (3.16), в силу непрерывности
функции
(
x
) получаем
=
(
).
(3.21)
Таким образом,
есть корень уравнения (3.17). Другого корня на
отрезке
b
a
,
уравнение (3.17) не имеет. Действительно, если
ξ
)ξ(
,
(3.22)
то из равенств (3.21) и (3.22) получим
ξ
ξ
)ξ(
-
)ξ
(
и, следовательно,
)ξ
ξ
(
[1-
’(
c
)]
= 0,
(3.23)
где
ξ
,ξ
c
.
Так как выражение в квадратных скобках в равенстве (3.23) не
равно нулю, то
,
ξ
ξ
т.е. корень
– единственный. Теорема доказана.
Выведем оценку приближения. Пусть
x
x
f
)(
(
x
).
Очевидно,
что
1 )
(
x
f
’
q
x
1 )(
. Отсюда, учитывая
,0
)
ξ(
f
получим
|
x
n
(
x
n
)|
,ξ
)
1( )
( ξ
)ξ( ) (
n
n
n
n
xq
x f
x
f
xf
где
),ξ,
(
n
n
x x
и, следовательно,
,
1
) (
ξ
q
x
x
x
n
n
n
(3.24)
т.е.
