72
Переходя к пределу при
n
в неравенство (3.2), в силу
непрерывности функции
)
(
xf
получим
.0 )ξ(
2
f
Отсюда
,0 )ξ(
f
т.е.
ξ
является корнем уравнения (3.1), причем очевидно, что
.
2
1
ξ 0
ab
a
n
n
(3.4)
Если корни уравнения (3.1) не отделены на отрезке [
a
,
b
], то таким
способом не найти один из корней уравнения (3.1).
Метод половинного деления практически удобно применять для
грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении
точности значительно возрастает объем работы.
3.3. Метод Ньютона (метод касательных)
Пусть
корень уравнения
0 )(
xf
(3.5)
отделен на отрезке
ba
,
, причем
)(
x
f
и
)(
x f
непрерывны и сохраняют
определенные знаки при
.
b
x
a
Найдя какое-нибудь
n
-е приближенное
значение корня
),
(
ξ
b x a
x
n
n
мы можем уточнить его по методу
Ньютона следующим образом. Положим
,
ξ
n
n
h
x
(3.6)
где
n
h
считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора,
получим
).
(
) (
)
( 0
n
n
n
n
n
x fh xf
h xf
Следовательно,
.
) (
)
(
n
n
n
x f
xf
h
Внеся эту поправку в формулу (3.2), найдем следующее (по порядку)
приближение корня
....) ,2,1,0
(
) (
) (
1
n
x
f
xf
x x
n
n
n
n
.
(3.7)
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги
кривой
)(
xf y
касательной, проведенной в некоторой точке кривой
(рис. 3.1). В самом деле, положим для определенности, что
0
)
(
x
f
при
b x
a
и
.0
)
(
bf
Выберем, например,
,
0
b x
для которого
.0 )
( )
(
0
0
x f x
f
Проведем
касательную к кривой
)
(
x
f y
в точке
.)
( ,
0
0 0
xf
x
B
