19
если данные можно брать с произвольной точностью, то для
получения результата с
k
верными значащими цифрами исходные
данные следует брать с таким числом цифр, которые, согласно
предыдущим правилам, обеспечивают
k
+1 верную цифру в
результате.
1.12. Общая формула для погрешности
Основная задача теории погрешности: известны погрешности
некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной
функции от этих величин.
Пусть задана дифференцируемая функция
)
,...,
,
(
2 1
n
x
xx
f u
и пусть
i
x
) ,..., 2,1 (
n
i
абсолютные погрешности аргументов функции. Тогда
абсолютная погрешность функции
)
,...,
, ( )
,...,
,
(
2 1
2
2 1
1
n
n
n
x xxf
x x x xx xf
u
.
Обычно на практике
i
x
малые величины, произведениями,
квадратными и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому
можно положить
i
n
i
i
n
i
i
i
n
x
x
f
x
x
f
x x
xdf
u
1
1
2 1
)
,...,
, (
.
Итак,
i
n
i
i
x
x
f
u
1
.
(1.9)
Отсюда, обозначая через
i
x
) ,..., 2,1 (
n
i
предельные абсолютные
погрешности аргументов
i
x
и через
u
предельную погрешность
функции
u
, для малых
i
x
получим
i
x
n
i
i
u
x
u
1
.
(1.10)
Разделив обе части неравенства (1.9) на
u
, будем иметь оценку для
относительной погрешности функции
u
i
n
i
n
i
i
n
i
i
x x xf
x
x
u
x
f
1
1
1
)
,...,
( ln
δ
.
Следовательно, за предельную относительную погрешность функции
u
можно принять
i
x
n
i
i
u
u
x
1
ln
δ
.
