10
Характеристиками точности результата решения задачи являются
абсолютная и относительная погрешности. Приступим к их
рассмотрению.
1.2. Абсолютная и относительная погрешности
Приближенным числом а
называется число, незначительно
отличающееся от точного
A
и заменяющее последнее в вычислениях.
Если известно, что
а<A
, то
а
называется приближенным значением числа
A
по недостатку; если же
а
>
A
, то по избытку.
Под
ошибкой
или
погрешностью
a
приближенного числа
а
обычно
понимается разность между соответствующим точным числом
A
и
данным приближенным, т. е.
A
=
A
a
.
Если
a<A
, то ошибка положительна:
a
>0, если
a
>
A
, то ошибка
отрицательна:
a
<0. Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда
целесообразно пользоваться
абсолютной погрешностью приближенного
числа а:
=|
a
| = |
A
a
|.
Однако, если число
A
нам неизвестно (что на практике бывает чаще
всего), полезно вместо абсолютной погрешности
ввести ее оценку
сверху, так называемую
предельную абсолютную погрешность
. Под
предельной абсолютной погрешностью
a
приближенного числа
а
понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого
числа:
a
aA
.
Следовательно, точное число
A
заключено в границах
a
a
aA a
, где
a
a
есть приближение числа
A
по недостатку, а
a
a
приближение числа
A
по избытку. Или
a
aA
.
Относительной погрешностью
приближенного числа
а
называется
отношение абсолютной погрешности
этого числа к абсолютному
значению точной величины
А
(
А
0):
|
|
δ
A
.
Предельной
относительной
погрешностью
a
δ
данного
приближенного числа
a
называется всякое число, не меньшее
относительной погрешности этого числа. По определению имеем
a
δ
δ
,
т.е.
a
A
δ
, отсюда
a
A
δ
.
Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа
а
можно принять
a
a
A
δ
или, так как на практике
А
а
,
a
a
a
δ
.
