27
Несмотря на имеющиеся в этой области теоретические достижения, а
также на бурный рост мировых вычислительных мощностей, проблема
конструирования и исследования новых быстрых алгоритмов решения
СЛАУ не теряет своей актуальности, и поток публикаций по этой
тематике только увеличивается. Объясняется это тем, что возникающие
практические задачи, наряду с усложнением вычислительных процедур,
требуют от методов решения все большей точности и надежности. И с
этим связан тот уникальный феномен, что, невзирая на появление все
новых поколений ЭВМ, за последние 50 лет решение «больших» (на
текущий момент) задач всегда занимало примерно одинаковое
астрономическое время.
2.1. Общие сведения
К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные
задачи. Рассмотрим постановку задачи [10].
Дана система
n
алгебраических уравнений с
n
неизвестными:
.
...
.
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
2 2
11
2
2
2 22
1 21
1
1
2 12
1 11
n
n nn
n
n
n n
n n
b xa
xa
xa
b xa
xa xa
b xa
x
a xa
(2.1)
Эту систему можно записать в матричном виде:
B
=
X
A
, где
nn
n
n
n
n
a
a a
a
a a
a
a a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
.
.
.
.
...
...
;
n
x
x
x
X
...
2
1
;
n
b
b
b
B
...
2
1
.
A
квадратная матрица коэффициентов,
X
вектор-столбец
неизвестных,
B
вектор-столбец свободных членов.
Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на
прямые и итерационные. Прямые методы используют конечные
соотношения для вычисления неизвестных. Эти методы сравнительно
просты и пригодны для широкого класса систем. Недостатки: требуют
хранения в памяти ЭВМ сразу всей матрицы
A
. При больших порядках
системы расходуется много места в памяти и накапливается
вычислительная погрешность. Кроме того, существенно возрастает время
вычисления вектора
X
. Поэтому прямые методы обычно применяют при
небольших порядках системы (
n
<
200
). Примеры прямых методов
метод
определителей Кремера, метод Гаусса. Первый из них применяется
