16
сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и
вычитаемого.
Предельная относительная погрешность разности
A
x
x
u
2
1
δ
,
(1.7)
где
А
– точное значение абсолютной величины разности чисел
x
1
и
x
2
.
Замечание о потере точности при вычитании близких чисел
. Если
приближенные числа
x
1
и
x
2
достаточно близки друг к другу и имеют
малые абсолютные погрешности, то число
A
мало. Из формулы (1.7)
вытекает, что предельная относительная погрешность в этом случае
может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности
уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т.е. здесь происходит
потеря точности.
1.8. Погрешность произведения
Теорема.
Относительная погрешность произведения нескольких
приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы
относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство.
Пусть
n
x xx u
...
21
.
Предполагая для простоты, что приближенные числа
n
x x
x
,...,
,
2
1
положительны, будем иметь
n
x
x x
u
ln ...
ln
ln ln
2
1
.
Отсюда, используя приближенную формулу
x
x
x d
x
ln
ln
, находим
n
n
x
x
x
x
x
x
u
u
...
2
2
1
1
.
Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим
n
n
x
x
x
x
x
x
u
u
...
2
2
1
1
.
Если
i
A
)
,...,
2,1
(
n
i
точные значения сомножителей
x
i
и
i
x
, как это
бывает обычно, малы по сравнению с
x
i
, то приближенно можно
положить
i
i
i
i
i
A
x
x
x
и
δ
u
u
, где
i
δ
относительные погрешности
сомножителей
i
x
n
i
,..., 2,1
и
δ
относительная погрешность
произведения.
Следовательно,
n
δ ...
δ
δ δ
2
1
.
(1.8)
