29
системы к треугольному виду (переставлять местами уравнения,
проводить между ними любые линейные операции).
2.3. Метод простой итерации
Пусть дана система из
n
алгебраических уравнений с
n
неизвестными:
.
...
.
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
2 2
11
2
2
2 22
1
21
1
1
2 12
1 11
n
n nn
n
n
n n
n
n
b x
a
xa xa
b xa
xa xa
b xa
xa xa
Решение систем линейных уравнений с помощью метода простой
итерации сводится к следующему алгоритму.
Проверка условия сходимости. Для сходимости метода необходимо и
достаточно, чтобы в матрице
A
абсолютные значения всех диагональных
элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в
соответствующей строке:
n
j i=i
ij
ii
a >a
1,
.
Недостаток итерационных методов
достаточно жесткое условие
сходимости, которое выполняется далеко не для всех систем.
Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе
необходимо задать начальное приближение вектора неизвестных, в
качестве которого обычно выбирается нулевой вектор:
0
...
0
1
=
x=
=x= x
(0)
n
(0)
2
)
(
.
Заметим, что здесь и в дальнейшем нижний индекс обозначает
соответствующую компоненту вектора неизвестных, а верхний индекс –
номер итерации (приближения).
Затем организуется циклический вычислительный процесс, каждый
цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой
итерации получается новое значение вектора неизвестных. Для
организации итерационного процесса запишем систему (2.1) в
приведенном виде. При этом слагаемые, стоящие на главной диагонали,
нормируются и остаются слева от знака равенства, а остальные
переносятся в правую часть. Приведенная система уравнений имеет вид
.
...
..
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
1
1 1 ,
1
11
22
1
2
1
1 21
2
2
11
1
1
1
2 12
1
1
nn
k
n nn
k
n
n
k
n
k
n n
k
k
k
n n
k
k
a x a
xa b
x
a xa
xa b x
a xa
xa b x
(2.3)
