13
1.5. Связь относительной погрешности приближенного
числа с количеством верных знаков этого числа
Теорема.
Если положительное приближенное число а имеет n
верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная
погрешность
δ
этого числа не превосходит
1
10
1
n
, деленную на первую
значащую цифру данного числа, т.е.
1
10
1
α
1
δ
n
m
, где
m
α
первая
значащая цифра числа а.
Доказательство
. Пусть число
...
10 α ...
10
α
10α
1
1
1
1
nm
nm
m
m
m
m
a
)1
α(
m
является приближенным значением точного числа
A
и имеет
n
верных
знаков. Тогда по определению имеем
1
10
2
1
nm
a
A
,
отсюда
1
10
2
1
nm
aA
.
Последнее неравенство еще более усилится, если число
а
заменим
заведомо меньшим числом
m
m
10
α
,
1
1
10
1
α2 10
2
1
10
2
1
10 α
n
m
m
nm
m
m
A
.
(1.1)
Первая часть последнего неравенства достигает наименьшего
значения при
n
=1. Поэтому
1 α2 10
2
1
m
m
A
,
(1.2)
или, так как
m
m m
m
α 1 α α1 α2
, то
m
m
A
10 α
2
1
.
Следовательно,
1
1
10
1
α
1
10 α
2
1
10
2
1
δ
n
m m
m
nm
A
,
1
10
1
α
1
δ
n
m
.
Итак, теорема доказана.
Замечание 1.
Пользуясь неравенством (1.2), можно получить более
точную оценку относительной погрешности
.
Следствие 1.
За предельную относительную погрешность числа
а
можно принять
