150
5. Нахождение собственных чисел и векторов
Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем
уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если
известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый
параметр называется характеристическим, или собственным значением
системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в
различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные
значения определяют главные нормальные
напряжения, а собственными векторами задаются
направления, связанные с этими значениями. При
динамическом анализе механических систем
собственные
значения
соответствуют
собственным частотам колебаний, а собственные
вектора характеризуют моды этих колебаний.
При расчете конструкций собственные значения
позволяют определять критические нагрузки,
превышение
которых
приводит
к
потере
устойчивости.
Выбор
наиболее
эффективного
метода
определения собствен-
ных
значений
или
собственных
векторов
для данной инженерной
задачи зависит от ряда
факторов, таких как тип
уравнений, число иско-
мых собственных зна-
чений и их характер.
Алгоритмы
решения
задач на собственные значения делятся на две
группы. Итерационные методы очень удобны и
хорошо
приспособлены
для
определения
наименьшего и наибольшего собственных
значений. Методы преобразований подобия несколько сложнее, но
позволяют определить все собственные значения и собственные вектора.
В 1826 г. Огюстен Луи Коши при изучении квадратичных форм
n
Огюстен Луи Коши
(1789 – 1857)
Жак Шарль Франсуа
Штурм
(1803 – 1855)
Жозеф Лиувилль
(1809 – 1882)
