32
является собственным значением матрицы
U
-1
, которая тоже унитарна.
1
1
1
=U
– по лемме 1, т.е.
1
. Следовательно,
1
=
.
Лемма 3. Собственные значения всякой самосопряженной
(симметричной в вещественном смысле) матрицы A (т.е. A
(*)
=A)
вещественны.
Доказательство. Пусть
– произвольное собственное значение
матрицы
A
,
0
x
– отвечающий ему собственный вектор, т.е.
x
=
Ax
.
Умножим это равенство скалярно на
x
x,
=xAx,
:x
, откуда
2
/
x xAx,
=
.
Выражение
x
Ax,
вещественно для самосопряженной матрицы
A
.
Следовательно,
вещественно.
2.7. Матрица отражения и ее свойства
Матрицей отражения называется матрица вида
*
2
xx I
x
U
U
, где
x
единичный вектор, т.е.
1
=
x
. Напомним, что
n
x
, ,x
=
x
...
1
*
«матрица»
размера 1
n
,
t
n
x, ,
x=
x
...
1
– «матрица» размера
1
n
и потому
*
xx
матрица
размера
n
n
.
Установим основные свойства матрицы отражения.
Лемма 4. Матрица отражения является самосопряженной
матрицей.
Доказательство. Вычислим сопряженную матрицу для матрицы
отражения
xU
:
xU xx
I x x I
xx I
xU
*
* **
*
*
2
2
2
,
что и означает самосопряженность матрицы
xU
.
Лемма 5. Матрица отражения является унитарной матрицей.
Доказательство. Вычислим для матрицы отражения
xU
:
I
xx
xx I
xx xx
xx I
xx I xx I
x
U xU
x
U
*
*
* *
*
*
*
2
*
4 4
4 4
2
2
,
поскольку
1
2
=
x
=
x
x,
=xx
*
. Это равенство и означает унитарность
матрицы
xU
.
Лемма 6.Собственные значения матрицы отображения равны
либо
1
, либо -
1
.
Доказательство. Из лемм 2 и 4 вытекает, что собственные значения
матрицы отражения по модулю равны 1. Из лемм 3 и 5 следует, что они
вещественны. Значит, собственные значения есть либо 1, либо -1.
Лемма 7. Матрица отражения
xU
имеет собственное значение
-1
кратности
1
, которому отвечает собственный вектор х, и собственное
значение
1
кратности n-
1
, которому отвечает собственное
подпространство
0
=xy, :y=x
.
