33
Доказательство.
Имеем
x= x
=
x
x=
x
I=
x
xU
2x
2xx
2xx
*
*
,
поскольку
1
2
=x
=xx,=xx
*
. Следовательно,
x
собственный вектор,
отвечающий собственному значению -1.
Далее,
для
всех
x
y
y
=y
y=y
I=y
xU
*
*
2xx
2xx
,
поскольку
0
=xy,
=
yx
*
. Следовательно,
y
собственный вектор,
отвечающий собственному значению 1. Такие вектора
x
y
образуют
1
n
-мерное подпространство.
Лемма 8. Геометрический смысл преобразования, задаваемого
матрицей отражения
x
U
: отражение относительно гиперплоскости
x
.
Доказательство. Всякий вектор
n
C
z
может быть представлен в виде
z
=α
x
+
y
, где
x y
. Здесь компонента α
x
параллельна
x
, а компонента
y
ортогональна
x
, т.е. лежит в гиперплоскости
x
. В силу леммы 7
y+αx =y+αx xU
=
zx
U
, т.е. вектор
z
отразился относительно
гиперплоскости
x
.
Лемма 9. Пусть е
произвольный единичный вектор:
1
=e
. Тогда для
всякого вектора
n
C
y
существует вектор
n
Cx
,
1
=x
такой, что
ey=
yxU
.
Доказательство. Так как вектора
y
и
ey
должны быть получены друг
из друга отражением относительно гиперплоскости
x
, то вектор
e
y y
должен быть параллелен
x
, т.е.
e
y
y
α=x
. Коэффициент α найдем из
условия
1
=x
. Получаем
ey y
ey y
±=x
.
2.8. Алгоритм метода отражений
Метод отражений применяется для решения систем линейных
уравнений
f xA
. Это один из лучших методов для решения СЛАУ
общего вида (матрица системы может быть как действительной, так и
комплексной). Идея метода заключается в следующем: матрица
A
системы раскладывается в произведение двух матриц – унитарной
матрицы и правой треугольной матрицы
A
=
WT
, где
W
унитарная
матрица;
T
правая треугольная матрица.
Унитарная матрица
W
– такая матрица, для которой
выполнено:
E WW
*
, где
E
единичная матрица. Унитарную матрицу
W
