127
зовой плоскости существует
y
k
=0,
0
k
y
′ =
, однако она является точкой неустой-
чивого равновесия, поскольку даже самое незначительное отклонение от этой
точки приводит к удару трением. То есть уравнение (5.9) движения системы
двух твёрдых тел при наличии связей даже при
f
c
a
/
b
> 1 (не соответствует кри-
тическому набору) имеет единственное решение - удар трением. В этом случае
неважно, какое из двух тел стало причиной их касания. Произойдёт удар трени-
ем, и почти вся энергия вращательного движения цилиндра передастся колодке.
5.3.3. Случай тангенциальной податливости колодки
Как видно на рис. 34,
б
, тело
C
малой массы
m
может перемещаться
только вдоль оси
x
, то есть по касательной к колесу. Уравнение движения тела
C
будет
mx
'' = -
kx
–
hx
' +
T
. (5.25)
Уравнение равновесия колодки
a
(
kx
+
hx
') =
bN
. (5.26)
До тех пор, пока имеет место скольжение (
x
' <
ω
r
), будет действовать си-
ла трения
T
=
f
c
N
=
f
c
a
(
kx
+
hx
')/
b
и уравнение (5.25) будет иметь вид
mx
'' = (
f
c
a
/
b
-1.0)(
kx
+
hx
'), (5.27)
или
x
'' + (1.0 -
f
c
a
/
b
)(
h
/
m
)
x
' + (1.0 -
f
c
a
/
b
)(
k
/
m
)
x
= 0. (5.28)
Уравнения (5.28) и (5.17) аналогичны. По условиям задачи, колодка не
может двигаться в направлении оси
x
, и вместо неё движется тело
C
малой
массы
m
. Поэтому вместо выражения
I
к
/
b
2
в (5.17) в уравнении (5.28) фигури-
рует масса
m
.
Рассмотрим движение тел только для закритической области значений
параметров.
Случай В.
При
f
c
a
/
b
> 1 и
m
<<
I
к
/
b
2
скорость тела
C
за короткий интер-
вал времени сравняется со скоростью точек колеса, скользящих по нему.
Скольжение прекратится при
0
ω ω
x r r
∗
′ = ≈
, после чего произойдёт интенсивное
сжатие пружины, в соответствии с уравнением вращения колеса
(
I
+
mr
2
)
x
''/
r
= -
r
(
kx
+
hx
'),
или
x
'' + (
hr
2
/(
I
+
mr
2
))
x
' + (
kr
2
/(
I
+
mr
2
))
x
= 0, (5.29)
где
I
- момент инерции колеса,
x
''/
r -
его угловое ускорение остановки. В (5.29)
к моменту инерции
I
цилиндра добавлен момент инерции
mr
2
тела
C
относи-
тельно оси вращения цилиндра. Траектория на фазовой плоскости
x
,
x
' для слу-
чая тангенциальной податливости тормозной колодки, при условии
f
c
a
/
b
> 1
будет аналогичной траектории приведённой на рис. 35,
в
. В этом случае колесо
после остановки получит ускорение в направлении, обратном к первоначально-
му направлению вращения, за счёт энергии сжатой пружины тела
C
.
