ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
45
Функции
m j
i
NNN
,
,
должны быть выбраны таким образом, чтобы при
подстановке в (2.6) координат узлов получались соответствующие узловые
перемещения. Очевидно, что в общем случае
I
yxN
i
i i
=
) , (
(единичная матрица),
тогда как
0 ) , (
) , (
=
=
m m i
j
j
i
y xN y xN
и т.д.
Функции
] [
N
называются функциями формы. Они играют важную роль
в МКЭ.
Определить перемещения внутри элемента в рассматриваемом случае
проще всего с помощью двух линейных полиномов. Для перемещений
u
и
v
получаются уравнения
y x
u
3
2 1
α α α
+ + =
;
y x
v
6
5 4
α α α
+ + =
.
Для элементов с большим числом степеней свободы каждого узла и
другими геометрическими условиями для представления перемещений
применяют полиномы более высокого порядка
На основе постулата о том, что
при постановке координат узлов можно получить соответствующие
перемещения узлов, определяются шесть коэффициентов
6
1
α, ,α
.
Из системы
; α α α
3
2 1
i
i
i
y
x
u
+ + =
;
α α α
3
2 1
j
j
j
y
x
u
+ + =
m
m
m
y
x
u
3
2 1
α α α
+ + =
можно определить коэффициенты
3 1
α α
. Для перемещения
u
нетрудно
получить
*
В зависимости от степени полиномов конечные элементы делятся на симплекс-, комплекс- и
мультиплекс-элементы. Полиномы
симплекс-элементов
содержат константы и линейные члены; полиномы
комплекс-элементов
– константы, линейные члены, а также члены более высоких степеней. Комплекс-
элементы, как правило, кроме граничных узлов, имеют дополнительные внутренние узлы. Полиномы
мультиплекс-элементов
также содержат члены более высоких степеней, однако на мультиплекс-элементы
накладывается дополнительно еще одно условие: их границы должны быть параллельны координатным осям
[34].
Из множества различных конечных элементов отметим конечные элементы
Лагранжа
и
Эрмита,
которые широко применяют для решения задач различного рода. Конечные элементы Лагранжа
характеризуются тем, что аппроксимация (локальная) однозначно определяется значениями функции в узлах
элемента. Узловыми параметрами симплексных элементов Эрмита являются значения не только функции, но и
ее производных по пространственным переменным (координатам).
