ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
38
(
дискретная модель
) носит название
расчетной модели
исследуемой
конструкции или объекта.
Широкое распространение получили модели на основе метода сеток
[34]. Сущность
метода сеток
состоит в аппроксимации искомой непрерывной
функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых
точках –
узлах
. Совокупность узлов, соединенных определенным образом,
образует
сетку
. Сетка является дискретной моделью области определения
искомой
функции.
Применение
метода
сеток
позволяет
свести
дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных в общем случае
алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений
функций. Алгоритм метода сеток состоит из трех этапов.
Этап 1.
Построение сетки в заданной области (дискретизация задачи);
Этап 2.
Получение системы алгебраических уравнений относительно
узловых значений (алгебраизация задачи);
Этап 3.
Решение полученной системы алгебраических уравнений.
Наиболее часто в составе САПР используются следующие
разновидности метода сеток: метод конечных элементов (МКЭ) и метод
конечных разностей (МКР). Они отличаются друг от друга на первых двух
этапах алгоритма. На третьем этапе методы практически идентичны.
Метод
конечных
элементов
основан
на
пространственной
дискретизации, т.е. представлении детали (ее геометрической формы) или
конструкции с помощью конечного числа элементарных объемов (рис. 2.1).
Начав развиваться как метод строительной механик
, МКЭ быстро завоевал
такие сферы инженерной деятельности, как проектирование самолетов и
автомобилей, космических ракет, тепловых и электродвигателей, турбин,
теплообменных аппаратов и др. Объем литературы по МКЭ в настоящее время
огромен. Одной из наиболее фундаментальных работ является [15].
Основные преимущества МКЭ:
•
доступность и простота его понимания. Для практических целей, как
правило, не требуется подробных сведений по теории конечных элементов и
связанных с ней математических методов;
*
Идея представления конструкции в виде набора дискретных подобластей (или элементов) восходит к
раннему периоду исследований конструкций летательных аппаратов, когда, например, крылья и фюзеляжи
рассматривались как совокупность стрингеров, обшивки и работающих на сдвиг панелей. А. Хренников [48] в
1941 г. ввел "метод каркасов" – предшественник общих дискретных методов – и применил его, представляя
плоское упругое тело набором брусьев и балок. В 1943 г. Р. Курант [46] дал приближенное решение задачи
кручения Сен-Венана. Он использовал кусочно-линейное представление функции искажения в каждом из
треугольных элементов, совокупностью которых заменялось поперечное сечение тела. Курант сформулировал
задачу с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Рассмотренный им пример содержит все
основные моменты процедуры, известной в настоящее время как МКЭ. В 1954 г. Д. Аргирис и его сотрудники
начали публикацию серии работ, в которых глубокое развитие получили некоторые обобщения линейной
теории конструкций и были представлены методы исследования дискретных конструкций сложных
конфигураций в форме, удобной для использования ЭВМ [42-44]. Первое формальное изложение МКЭ дано в
известной работе М. Тэрнера с соавторами [49], которые при исследовании задач о плоском напряженном
состоянии использовали уравнения классической теории упругости для описания свойств треугольного
элемента. В работе [45] впервые был введен термин "конечный элемент".
