ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
41
приводит к повышению точности расчета [27]. Но переход к очень малым по
размеру конечным элементам может иногда привести к резкому возрастанию
ошибок округления и, как следствие этого, к росту общей погрешности расчета.
Не всегда целесообразно использовать один и тот же размер конечного
элемента, например, по всему полю пластины. В местах ожидаемой
концентрации напряжений, резкого изменения напряжений полезно уменьшать
размеры конечных элементов путем введения дополнительных рассечений
с образованием дополнительных узловых точек.
Известно, что механическое поведение элементов и всей структуры
может быть описано с трех позиций. Эти соображения базируются на оценке
физического поведения упруго деформируемых несущих единиц конструкций и
трактуются следующим образом [41]:
•
внешние и внутренние силы должны находиться в равновесии (статическое
равновесие);
•
смежные элементы после деформации не должны ни отходить один от
другого, ни проникать друг в друга, а в узлах на границе рассматриваемой
области должны выполняться граничные условия (кинематическое
равновесие);
•
связь между напряжениями и деформациями определяется физическими
соотношениями теории упругости или пластичности.
Если говорить математическим языком, это означает:
•
для условия статического равновесия
0}{} ]{ [
= +
v
F GA
,
(2.1)
где
] [
A
– матрица операций дифференцирования;
}{
G
– вектор-столбец
напряжений;
}{
v
F
– вектор-столбец объемных сил;
•
для условия кинематического равновесия
}δ]{ [ }ε{
B
=
,
(2.2)
где
}ε{
– вектор деформаций;
] [
B
– матрица связи деформаций и узловых
перемещений;
}δ{
– вектор узловых перемещений.
Условие кинематического равновесия выполнено, если перемещение
в каждой точке постоянно. При этом первая производная перемещения может
быть постоянной только на отдельных элементах.
Диаграмма "растяжение – сжатие" материала связывает напряжение
}σ{
и деформацию
}ε{
. В линейно-упругой области эта зависимость описывается
законом Гука с помощью матрицы упругости
] [
D
, содержащей характеристики
материала
}ε]{ [ }σ{
D
=
.
(2.3)
