ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
42
Составляемая
с
учетом
указанных
соотношений
система
дифференциальных уравнений интегрируется для заданных статических
и кинематических граничных условий. Это интегрирование осуществимо
только при сильном упрощении, т.е. при простой геометрии и нагрузке.
Вместо дифференциальных уравнений в качестве варианта можно составить
одно дифференциальное уравнение. В качестве вариационного принципа при
этом используют принцип виртуальной работы, т.е. работы на возможных
перемещениях. Согласно данному принципу, внешняя виртуальная работа,
совершаемая под действием внешней нагрузки и вызывающая виртуальное
перемещение, равна внутренней виртуальной работе, совершаемой под
действием напряжения, вызывающего виртуальное перемещение, если
напряжения статически уравновешены с внешними нагрузками. В случае малых
перемещений (линейных и угловых) внешняя виртуальная работа может быть
определена как результат действия сосредоточенных, поверхностных
и объемных сил и соответствующих виртуальных перемещений. Внутренняя
работа определяется напряжением и виртуальным перемещением.
Метод конечных элементов основан на физической идеализации.
Идеализация означает, что одно из двух условий равновесия (статического или
кинематического) выполняется точно, а второе – приближенно. На основе этих
двух условий равновесия были созданы методы сил и перемещений. Метод сил
использует конечные элементы, в которых напряжения распределены так, что
не нарушаются условия статического равновесия. А при расчете по методу
перемещений, благодаря поэлементному приращению перемещений,
выполняются кинематические условия.
Теоретически оба метода дают одинаковый результат, но метод
перемещений для решения произвольных сложных конструкций дает
численные процедуры значительно более простые и стандартные, а с этим
связаны простота алгоритмизации и большая универсальность МКЭ [27].
Преимущественное использование долгое время почти исключительно метода
перемещений можно объяснить и тем, что кинематические взаимосвязи даже
очень сложных несущих конструкций легко представить. При решении
динамических и нелинейных проблем метод перемещений оказывается еще
более пригодным.
Эти две разновидности МКЭ отражают двойственный характер методов
перемещений и сил в строительной механике: в методе перемещений
формируется матрица жесткости конструкции и для заданного вектора нагрузки
определяется вектор узловых перемещений, а в методе сил формируется
матрица податливости и в качестве искомых неизвестных выступает вектор
узловых усилий. МКЭ в варианте метода перемещений более точно определяет
конфигурацию деформируемого тела, а МКЭ в варианте метода сил точнее
характеризует его напряженно-деформированное состояние (НДС). Стремление
к точному расчету изменений геометрии конструкции, исходя из перемещений
ее узлов и параметров ее НДС, привело к тому, что результатом использования
