ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
43
МКЭ в варианте перемещений и сил было получение гибридных и смешанных
конечных элементов [39].
При использовании метода перемещений для принципа виртуальной
работы для случая линейной статики усилие
e
F
}{
на элемент равно
e
e e
e
J
k F
}{ }δ{][ }{
+
=
,
(2.4)
где
e
k
][
– матрица жесткости;
e
}δ{
– вектор узловых перемещений;
e
J
}{
– начальный вектор-столбец узловых сил элемента.
Поскольку требуется рассчитать всю конструкцию, то отдельные
элементы собираются в общую структуру. Для этого объединяют матрицы
жесткости элементов
e
k
][
в матрицы жесткости структуры, т.е. составляют
ансамбль элементов
s
K
] [
. Для узловых сил
s
R
}{
всей структуры выражение
имеет вид
s
s
s
s
J
K R
}{ }δ{] [ }{
+
=
,
(2.5)
где
{ }
s
δ
– вектор узловых перемещений структуры,
{ }
s
J
– начальный вектор
узловых сил структуры. Это систему уравнений необходимо решать с учетом
заданных граничных условий.
Разрешающие уравнения для различных видов анализа приведены в
третьей главе.
2.2. Описание свойств конечного элемента
Рассмотрим подробнее на простом примере математическое решение
при использовании МКЭ [15]. В этом примере на двумерной упругой задаче
показаны отдельные шаги и необходимые предпосылки решения.
Хотя рассматривается только плоский треугольный элемент, однако
принципиальный подход остается без изменения, так что подобный способ
можно применять и для анализа более сложных элементов.
Функция перемещений
На рис. 2.3 изображен типичный конечный элемент
e
c узлами
mj i
, ,
и прямолинейными границами. Перемещения любой точки внутри элемента
задаются вектором-столбцом
