Стр. 28 - ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОПТИКА

И Н Т Е Г Р А Л Ь Н А Я О П Т И К А
28
( ) 0 )(
)(
1
)(
1 )(
)(
2 2 2
0
2
2 2
2
2 3 = β− +
∂
∂
+
∂
∂
− y
y y H kx n
x n x
H
x n x
H
dx
xdn
xn
. (1.36)
Если )( xn– медленно меняющаяся функция и выполняется условие
( ) x
H
H kx n xn
dx
dn y
y ∂
∂
β− << 2 2
0
2 )(
2
)( , (1.37)
уравнение (1.36) перепишется в виде
[ ] 0 )( 2 2
0
2
2
2
= β− +
∂
∂
y
y H kx n
x
H
. (1.38)
Уравнение (1.38) совпадает с уравнением (1.33).
Таким образом, при условии (1.37) волны H и E градиентного пленочного
волновода описываются уравнениями одинакового вида.
В качестве примера рассмотрим пленочный волновод с усеченным пара-
болическим профилем, который задается уравнением




>
<











∆− =
, если ,
, если , 1
)(
2
2
1
h x n
h x
h
x
n xn
где
1
2 1
n
n n −
=∆ .
Вводя новую переменную
x
h
kn 2/1
01 )2( 2 ∆
=ξ
и величину ( )
2/1
01
2
0
2 2
)2( 2
1
∆
−β
=
kn
kn h
a ,
приводим уравнение (1.33) к виду
0
4
2
2
2
= 





+ ξ
−
ξ y
y Ea
d
Ed
. (1.39)
Уравнение (1.39) определяет поле в области h x < . Это уравнение пара-
болического цилиндра. При 




 + −=
2
1
m a оно имеет решение
( )
2/ 4/ 2 2
)1( )( )( ξ− ξ
ξ
−=ξ =ξ e
d
d e
D E m
m
m
m y , (1.40)
где )( ξ
m D – функция параболического цилиндра.
Согласно (1.40), поле экспоненциально спадает к краям профиля. При
этом в области, где выполняется условие
2
1
4
2
+ < ξ m
или )1 2(2 + <ξ m ,