19
силе и значения величины
f
c
не ограничены. С учётом обозначения
f
c
= tg
β
, ус-
ловие начала движения вправо примет вид
sinα
20
cos
β
- cosα
20
sin
β
= sin(α
20
-
β
) = - (
m
2
/
m
1
)/(1+
f
c
2
)
1/2
.
Окончательно α
20
= arctg(
f
c
) - arcsin((
m
2
/
m
1
)/(1+
f
c
2
)
1/2
).
Для углов α
2
> α
20
масса
m
1
будет двигаться вправо с ускорением
a
2
=
g
(
m
1
sinα
2
+
m
2
-
f
c
m
1
cosα
2
)/(
m
1
+
m
2
),
максимальное значение которого
(
a
2
)
max
= g(
m
1
+
m
2
)/(
m
1
+
m
2
) =
g
достигается при α
2
= + π/2.
Таким образом, при углах α
2
< α
20
- движения тела
m
1
вправо не будет.
Ширина интервала углов застоя будет:
10 20
Δα α α
= +
.
Подставляя соответствующие значения углов, получим
1
1
c
c
2
2
2
c
2
c
Δα arctg arcsin
arctg arcsin
1
1
=
+
+
−
+
+
m
m
f
f
m f
m f
,
или
Δα 2arctg 2β
=
=
c
f
.
Ширина углового интервала застоя не зависит от соотношения масс
m
2
/
m
1
,
а зависит только от угла трения выбранной пары материалов тела
m
1
и покры-
тия наклонной плоскости. Действительно, если суммировать два исходных
уравнения:
1
10
2
1
10
sin α
cosα 0
− −
=
c
m g
m g f m g
;
2
1
20
1
20
sin α
cosα 0
+
−
=
c
m g m g
f m g
,
решениями которых являются α
10
и α
20
, соответственно, получим
m
1
g
(sinα
10
+ sinα
20
) -
f
c
m
1
g
(cosα
10
+ cosα
20
) = 0,
или
(sinα
10
+ sinα
20
)/(cosα
10
+ cosα
20
) =
f
c
= tg
β
.
Используя тригонометрические формулы преобразования, получим тот же
результат:
10 20
10 20
10 20
10 20
10 20
α α α α
2sin
cos
α α
2
2 tg
tgβ
α α α α
2
2cos
cos
2
2
+
−
+ =
= =
+
−
c
f
Таким образом, измеряя ширину интервала углов застоя, можно опреде-
лить
f
c
.
Задача 5.
Имеются два круглых однородных цилиндра радиусами
R
1
,
R
2
и массами
m
1
,
m
2
соответственно. Необходимо определить условия устойчи-
вого равновесия в гравитационном поле Земли, когда один цилиндр установлен
на другом. Ось симметрии нижнего цилиндра радиуса
R
1
находится в горизон-
тальной плоскости. Ось симметрии верхнего цилиндра радиуса
R
2
перпендику-
лярна оси симметрии нижнего цилиндра [28].
