62
пользовать метод наименьших квадратов. В простейшей постановке он сводит-
ся к следующему. Уравнение прямой будем искать в виде
y = a + bx
.
Неизвестные коэффициенты регрессии
a
и
b
определяются из условия
минимизации суммы квадратов вертикальных отклонений исходных точек от
прямой регрессии:
n
i
i
i
bx a y
S
1
2
min
.
Продифференцировав функцию
S
по
a
и по
b
и приравняв производные
нулю, получим значения коэффициентов линейной регрессии, соответствую-
щих минимуму суммы квадратов отклонений. Опуская промежуточные вычис-
ления, приведем формулы для нахождения значений
a
и
b
:
n
x b y
a
x
x
n
y x
yx n
b
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i i
1
1
1
1
2
2
1
1 1
,
.
Если у нас есть уравнение прямой регрессии, то его можно использовать
для составления прогноза значений
у
. Если прогноз осуществляется для
х
,
находящихся в пределах исходного интервала значений, то такая процедура
называется
интерполяцией.
В случае составления прогноза для
х
, находящихся
вне исходного интервала значений,
экстраполяцией
.
Процесс экстраполяции можно провести графически, изменив формат
линии тренда. Например, спрогнозируем объем продаж магазина фасонной
одежды, если население, проживающее в пределах 30-минутной езды от него,
составляет 750 тыс. чел. Поскольку максимальное значение ряда
х
составляют
450, необходим прогноз вперед на 300 единиц (рис. 3.21).
Коэффициент определенности
(
R
-квадрат), равный квадрату коэффици-
ента корреляции, показывает, какая часть вариаций зависимой переменной
y
объясняется уравнением регрессии. В нашем примере можно утверждать, что в
соответствии с уравнением регрессии 78,3% вариаций объема торговли объяс-
няется изменением численности населения.
