51
В свою очередь функцию затрат можно представить полиномом третьей
степени:
Z = b
0
+ b
1
Q + b
2
Q
2
+ b
3
Q
3
.
Кубическая нелинейность может объясняться тем, что при производстве
малой партии товаров издержки быстро растут, затем с ростом
Q
темп роста
Z
уменьшается, но по достижении некоторого критического значения
Q
начинает
работать «закон убывающей отдачи», в соответствии с которым издержки
вновь начинают расти ускоренными темпами.
Функция прибыли в данной модели имеет вид
P
=
N
–
Z =
(
a
0
Q
+
a
1
Q
2
) – (
b
0
+
b
1
Q
+
b
2
Q
2
+
b
3
Q
3
).
Прибыль максимальна, если предельный доход равен предельным из-
держкам или
dP/dQ
= 0:
(
a
0
+
2
a
1
Q
)
(
b
1
+ 2
b
2
Q
+ 3
b
3
Q
2
) = 0.
Отсюда получим формулу для вычисления
Q
*
, соответствующего мак-
симальной прибыли:
.
3
)
( 3 )
( )
(
3
0 1 3
2
2 1
2 1
*
b
a bb
b a
b a
Q
Предположим заданными коэффициенты:
a
0
=
5;
a
1
= –0,1;
b
0
=
10;
b
1
=
1;
b
2
= –0,1;
b
3
= 0,01. Тогда
Q
*
= 11,55;
P
max
= 20,79.
Предельный анализ результатов хозяйственной
деятельности предприятия
Рассмотрим модель, содержащую линейную функцию спроса (зависи-
мость цены продаж от количества проданных товаров) и линейную функцию
издержек. При этом используется аппарат регрессионного анализа имеющихся
данных за
n
периодов. Анализ зависимости между ценой продукта и его коли-
чеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса следующую форму:
k = a
0
+ a
1
Q
.
В каждом из
n
периодов считаются заданными параметры
k
i
и Q
i
.
По ме-
тоду наименьших квадратов определяются неизвестные параметры
a
0
и
a
1
на
основе составления и решения системы нормальных уравнений вида:
.
;
1
1
2
1
1
0
1
1
1 0
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Qk
Q a Q a
k
Q a an
Неизвестные коэффициенты определяются из соотношений:
