269
Графики решений с помощью явной и неявной разностных схем
практически совпадают.
9.4. Использование методы сеток для решения
гиперболических уравнений
Решение гиперболических уравнений также можно осуществить с
помощью разностных схем. Разностные схемы решения одномерного
гиперболического уравнения рассмотрим на примере следующего
уравнения:
(9.14)
Построим сетку
h
(рис. 9.1), в которой будем искать решение
уравнения (9.14). Частную производную
2
2
x
u
заменим разностным
соотношением (9.4), а производную
2
2
t
u
- соотношением
2
1 ,
,
1 ,
2
2
2
,
ji
ji
ji
j
i
u u
u
t
txu
.
(9.15)
Подставляя (9.15), (9.4), (9.5) в гранично-начальную задачу (9.14),
получим следующую явную разностную схему решения уравнения:
(9.16)
которая устойчива при γ<1.
Пример 9.3
Решим одномерное уравнение неявной схемы для модельной задачи
.2 0,
1sin ),1( ,0
),0(
;1 0,
sin )0,(
;2 0,1 0
,
t
e
t u t u
x x
x
u
t
x
u
u
t
xx
t
Решением задачи является функция
.
sin ),(
t
ex
txu
Выберем
h
=τ=0,1,
N
=10,
M
=20.
