263
Разностные схемы решения параболических уравнений будем
рассматривать на примере следующего одномерного уравнения:
(9.3)
Построим сетку
h
(рис. 9.1). Для получения сеточного уравнения
заменим производную
2
2
x
u
приближенной разностной формулой
2
,1
,
,1
2
2
2
,
h
u u
u
x
t
xu
j
i
ji
j
i
j
i
.
(9.4)
В этой и последующих формулах
j
i
u
,
j
– это значение функции
u
в
точке
j
i
t x
,
,
,
j
i
u
,1
j
в точке
j
i
t x
,
,1
,
j
i
u
,1
j
в точке
j
i
t x
,
,1
,
1 ,
j
i
u
j
в точке
1 ,
,
j
i
t x
и
1 ,
ji
u
j
в точке
1 ,
,
j
i
t x
.
Для замены
t
u
можно воспользоваться одной из приближенных
разностных формул
ji
ji
j
i
u u
t
t
x
u
,
1 ,
,
,
(9.5)
1 ,
,
,
ji
ji
j
i
u u
t
t
xu
.
(9.6)
Кроме того, заменим начальные и граничные условия их разностной
аппроксимацией:
i
i
i
x
u
0
,
,
n
i
,...,
1,0
,
(9.7)
j
i
j
t
u
,
0
,
j
i
jn
v
t
v u
,
,
k
j
,..., 1,0
(9.8)
Заменив частные производные в задаче (9.3) соотношениями (9.4) и
(9.5) и учитывая условия (9.7) и (9.8), получим следующую
вычислительную схему для расчета значений функции
u
в узлах сетки
h
:
ji
ji
ji
ji
j
i
f
u
u
u
u
,
1 ,
,
1 ,
1
,
2
1
,
(9.9)
j
j
u
,0
,
j
j
n
v
u
,
,
i
i
u
0,
,
2
2
h
a
.
(9.10)
Явная двухслойная разностная схема представлена на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Шаблон явной двухслойной разностной схемы
