262
и
.
Существуют аналитические методы решения уравнений в частных
производных, такие как метод Фурье (метод разделения переменных) в
результате применения которых решение записывается в виде суммы
бесконечного ряда довольно сложной структуры и нахождение
численного значения функции в конкретной точке представляет собой
отдельную математическую задачу. Поэтому широкое распространение
получили численные методы решения уравнений в частных производных.
9.2. Использование метода сеток для решения
параболический уравнений в частных производных
Одним из наиболее распространенных численных методов решения
уравнений является метод сеток. В методе сеток область
, в которой
необходимо найти решение уравнения прямыми параллельными осям
j
t t
и
i
x x
, разобьем на прямоугольные области (рис. 9.1), где
ih x x
i
0
,
n
x x
h
n
0
,
n
i
,..., 2
,1,0
,
j
t
t
j
0
,
k
t
t
k
0
,
k
j
,..., 2,1,0
. Точки, которые
лежат на границе
Г
области
, называются
внешними
, а остальные точки
внутренними
. Совокупность всех точек называется сеткой,
h
величины
h
и
шагами сетки по
x
и
t
соответственно.
Рис. 9.1. Сетка
h
для области
с границей
Г
Идея метода сеток состоит в том, что вместо любой непрерывной
функции
t
x
w
,
будем рассматривать дискретную функцию
j
i
j
i
txw
w
,
,
которая определена в узлах сетки
h
, вместо производных функции,
будем рассматривать их простейшие разностные аппроксимации в узлах
сетки. Таким образом, вместо системы дифференциальных уравнений в
частных производных получим систему алгебраических уравнений. Чем
меньше величины
h
и
, тем точнее получаемые алгебраические
уравнения моделируют исходное дифференциальное уравнение в частных
производных.
х
0
х
i
x
n
-1
x
n
t
1
t
2
t
i
t
n
-1
t
n
