261
уравнение Пуассона
f u
, которое применяется в электростатике,
теории упругости и т.д.;
уравнение Гельмгольца
f
cu u
, описывающее установившиеся
колебательные процессы.
Среди
гиперболических
уравнений можно выделить:
волновые
уравнения:
одномерное
волновое
уравнение
txf
x
u
a
t
u
,
2
2
2
2
2
, которое описывает вынужденные колебания
струны; двумерное волновое уравнение
tyxf
y
u
x
u
a
t
u
, ,
2
2
2
2
2
2
2
описывает колебания мембраны;
телеграфное уравнение
0
1
2
2
2
2
x
u
LC
u
LC
RG
t
u
LC
LG RC
t
u
описывает
изменение потенциала
u
в линиях электропередачи,
L
,
C
,
R
,
G
коэффициент
самоиндукции,
емкость,
сопротивление,
характеристика потерь на единицу длины линии.
К классическим
параболическим
уравнениям относится уравнение
теплопроводности:
f u
a
t
u
2
.
Для нахождения единственного решения дифференциального
уравнения в частных производных необходимо задать начальные и
граничные условия. Начальными условиями принято называть условия,
заданные в начальный момент времени
t
. Граничные условия задаются
при различных значениях пространственных переменных. Для
эллиптических уравнений задаются только граничные условия, которые
можно разделить на три класса:
условие
Дирихле
zyx
u
Г zyx
, ,
, ,
, в этом случае на границе области
Г,
в которой ищется решение, задана некая непрерывная функция
.
В одном случае это условие принимает вид
t
t u
1
,0
,
t
t
L
u
2
,
,
L
,0
- интервал, на котором ищется решение одномерной задачи;
условие
Неймана
zyx
n
u
Г zyx
, ,
, ,
, в этом случае на границе области
задана производная по направлению
n
внешней нормали;
смешанное условие
zyx
n
u
u
Г zyx
, ,
, ,
.
Для параболических уравнений, кроме граничных условий,
необходимо определить одно начальное, которое может быть таким:
.
В случае гиперболических уравнений начальные условия могут быть
следующими:
