276
прямоугольника. С течением времени процесс изменения температуры
выходит на стационарный режим, т.е. устанавливается – решение
перестает зависеть от времени. Этот факт позволяет построить
эффективный итерационный метод решения задачи, который заключается
в том, чтобы найти решение задачи при больших значениях
t
, т.е. не
зависящих от
t
. Такой способ решения задачи для эллиптического
уравнения называется счетом на установление. Таким образом, для
решение нашей задачи можно применить метод сеток, причем нужно
вычислить
1 , ,
kji
u
до такого
k
, чтобы выполнилось неравенство
ε
max
, ,
1 , ,
,
kji
kji
ji
u
u
, где ε - заданная точность.
Пример 9.5
Решим разностную краевую задачу для уравнения Пуассона:
.1 0,4 sin sin )(
)2,( ,0
)(
)0,
(
;2
0,2 sin1
sin )(
) ,1( ,0 )(
) ,0
(
;2
0,1
0,2 sin
sin
5
4
3
2
1
x
x
x
xu
x
xu
y y
y
y u y
y
u
y
x y x
u u
yy
xx
Решением задачи является функция
.
sin
sin
y
x
u
Решение. Построим для данной стационарной задачи, следующую
эволюционную задачу:
.2
0,1 0,1
)0, ,(
;1 0,4 sin sin
)(
),2,( ,0 )(
),0,(
;2
0,2 sin1sin )(
), ,1( ,0 )(
), ,0(
;2
0,1 0,2 sin sin5
4
3
2
1
y
x
yxu
x
x
x
t xu x
t xu
y y
y
ty u y
ty u
y
x y x
u u u
yy
xx
t
Пусть
.10
;05
,0 ;2
,0
;1,0
y
x
y
x
N N
h
h
Решение в редакторе Visual Basic
Код программы:
Function f(x, y, t): f = 5 * Sin(x) * Sin(2 * y): End Function
Function mu(x, y): mu = 1: End Function
Function mu_1(y, t): mu_1 = 0: End Function
Function mu_2(y, t): mu_2 = Sin(1) * Sin(2 * y): End Function
Function mu_3(x, t): mu_3 = 0: End Function
Function mu_4(x, t): mu_4 = Sin(x) * Sin(4): End Function
Function Urtem_2(M)
Application.Volatile (True)
Dim u(10, 10, 20), uy(10, 10), uk12(10, 10), fi(10), a(10), b(10)
hx = 0.1: hy = 0.2: Nx = 10: Ny = 10: tau = 0.05
hx2 = hx ^ 2: hy2 = hy ^ 2
hxy = 2 * hx2 / hy2 - 2 * hx2 / tau
hyx = 2 * hy2 / hx2 - 2 * hy2 / tau
'0.k=0
For i = 0 To Nx: x = hx * i: For j = 0 To Ny: y = j * hy:
