259
9. Решение дифференциальных уравнений в частных
производных методом сеток
Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в
статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734—1735 гг.
(опубликованы в 1740 г.). Начиная с 1743 г. к работам Эйлера
присоединился Даламбер, открывший общее решение волнового
уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и
Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и
решения некоторых уравнений в частных производных. Эти работы ещё
не создали сколько-нибудь завершённой теории. Второй этап в развитии
данной темы можно датировать 1770-1830 гг. К этому периоду относятся
глубокие исследования Лагранжа, Коши и Якоби. Первые
систематические исследования уравнений в частных производных начал
проводить Фурье.
В XIX в. этой задачей занимались многие
ученые математики. В нашей стране большой
вклад внесли такие математики, как И.Г.
Петровский (1941 г.), А.О. Ладыжская (1953 г.),
Л.А. Люстерник, Л.В. Кантарович (1936 г.),
В.И, Крылов, Д.В. Давиденко (1957-1960 гг.),
Г.И. Марчук (1950 г.) и др. Назовем некоторые
области, в которых с успехом применяется метод
конечных разностей: расчет потенциальных
полей
различной
физической
природы,
нестационарные линейные и нелинейные
процессы теплопроводности в неоднородных
средах, задачи газодинамики и магнитной гидродинамики, ядерной
энергетики, физики плазмы, метеорологии, статистические задачи теории
упругости, задачи электродинамики, фильтрации. В последние годы
активно изучались экономические разностные схемы переменных
направлений.
9.1. Общие сведения
Во многих практических задачах искомые функции зависят от
нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут
содержать частные производные искомых функций. Они называются
И.Г. Петровский
(1901-1973)
