266
Решение задачи продемонстрировано на рис. 9.3.
Рис. 9.3. График решения при
f
(
x
,
t
)=sin(
xt
)
При решении параболических уравнений с помощью явной
разностной схемы основной проблемой является устойчивость решения и
правильный выбор шага по
t
, удовлетворяющего соотношению (9.11).
Для решения этой проблемы были предложены неявные разностные
схемы. Эти схемы абсолютно устойчивы, но алгоритм решения
получаемого сеточного уравнения несколько сложнее, чем простой
пересчет по формуле (9.9). Рассмотрим неявную разностную схему для
параболического уравнения. Для построения неявной разностной схемы
заменим частные производные в задаче (9.3) соотношениями (9.4), (9.6) и
с учетом условий (9.7) - (9.8) получим следующую вычислительную
схему для расчета значений функции
u
в узлах сетки
h
:
,
(9.12)
k
j
n
i
,... 12,
,1 ,...,
2
,1
.
Соотношения (9.12) вместе с равенствами (9.10) –
неявная
двухслойная
разностная схема (рис. 9.4). Схема (9.10), (9.12) не позволяет
явно выписать решение, и для нахождения
j
i
u
,
при каждом значении
j
необходимо
решить
трехдиагональную
систему
линейных
алгебраических уравнений, для чего можно воспользоваться одним из
итерационных методов (например методом Зейделя). Преобразуем (9.12)
к следующему виду:
.
(9.13)
