М а т е р и а л ы X I I В с е р о с с и й с к о й н а у ч н о - п р а к т и ч е с к о й к о н ф е р е н ц и и
П о с в я щ а е т с я 8 5 - л е т и ю в ы с ш е г о п е д а г о г и ч е с к о г о о б р а з о в а н и я в А р з а м а с е и
8 0 - л е т и ю п р о ф е с с о р а В я ч е с л а в а П а в л о в и ч а П у ч к о в а
453
Подставляя в исходное выражение и пренебрегая малыми второго
порядка, можно показать что:
1
2
103
5
12 .
5
n
n
n
x
(5)
Следовательно, начальные возмущения для исходных данных
многократно увеличились для следующего члена последовательности.
Аналогично можно доказать неустойчивость предела
1
3
x
.
В свою очередь предел
3
100
x
устойчив к начальным возмущениям,
поскольку выражение оценки
n
x
при наличии малых отклонениях можно
записать в виде:
1
2
8
15
100
.
100 10000
n
n
n
x
(6)
Выражение вида (6) является сжимающим отображением, поскольку
начальные возмущения быстро затухают для следующего члена
последовательности.
Принимая во внимание выражения (5) и (6), и, учитывая неточное
представление в ЭВМ вещественных чисел, можно сделать вывод о причине
развала исходной задачи.
Наличие малого и неизбежного возмущения при реализации на ЭВМ
рекуррентного соотношения Мюллера в исходном виде приводит к
существенному отклонению от правильного решения. Эта ошибка в свою
очередь может рассматриваться как неточное решение для
3
100
x
, что,
учитывая сжимающее отображение вида (6), приводит к развалу решения.
Корректная программная реализация рекуррентного соотношения
Мюллера «как есть» затруднительна или невозможна без применения
специализированных программных средств. Одним из возможных подходов
может быть использование библиотек реализующих методы целочисленной
арифметики.
Библиотека GMP или GNUMulti-Precision Library – библиотека на языке
C [5] реализует методы целочисленной арифметики. Библиотека является
свободным программным обеспечением с открытым кодом и изначально
разрабатывалась для операционных систем Linux. Ниже на рис.4 представлено
сравнение результатов предыдущих вычислений и результатов, полученных с
использованием библиотеки.
