59
чем в нашем примере) более правильно использовать не прямые, а
итерационные методы решения систем линейных уравнений. Введем
следующие переобозначения:
11
11
1
c
a
,
12
12
c
a
,
13
13
c a
,
21
21
c a
,
22
22
1
c
a
,
23
23
c a
,
31
31
c a
,
32
32
c
a
,
33
33
1
c
a
,
1 1
y b
,
2
2
y b
,
3 3
y
b
. Тогда
система принимает вид
.
,
,
3
3 33
2 32
1 31
2
3 23
2 22
1 21
1
3 13
2 12
1
11
b xa xa xa
b xa x
a xa
b xa x
a x
a
Записав систему в приведенном виде, получим итерационную формулу
для нахождения вектора неизвестных:
.
1
,
1
,
1
2 32
1
31
3
33
1
3
3 23
1 21
2
22
1
2
3 13
2 12
1
11
1
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xa x
a b
a
x
xa xa b
a
x
x
a xa b
a
x
Эта система может быть решена методом простой итерации, если
выполняется условие сходимости метода:
i j
ij
ii
a
a
. В нашем примере
9,0 4,0 3,0
4,0 8,0 2,0
2,0 2
,0 9,0
A
;
500
300
100
B
.
Условие сходимости выполняется. В качестве начального
приближения выбираем нулевой вектор
0;0;0
0
X
. Итерационный
процесс продолжается вплоть до достижения каждой из компонент
вектора неизвестных заданной точности:
ε |
|
1
k
i
k
i
x x
.
Пример решения задачи в пакете Microsoft Excel приведен на
рис. 2.10.
