" Н а у к а м о л о д ы х " , 2 6 н о я б р я 2 0 1 9 г . , А р з а м а с
П о с в я щ а е т с я 8 5 - л е т и ю в ы с ш е г о п е д а г о г и ч е с к о г о о б р а з о в а н и я в А р з а м а с е и
8 0 - л е т и ю п р о ф е с с о р а В я ч е с л а в а П а в л о в и ч а П у ч к о в а
472
связывающего амплитуду и частоту колебаний точки подвеса с длиной
маятника.
При наличии колебаний точки подвеса двойного перевернутого маятника
в уравнениях (8) следует величину
заменить на
.
Поскольку уравнения движения математического двойного маятника
чрезвычайно сложны, выяснить аналитически вопрос о возможности
стабилизации маятника в верхнем положении равновесия и получить критерии
устойчивости системы не представляется возможным.
Уравнения, определяющие движение перевернутого двойного маятника
были проинтегрированы численно при помощи стандартной программы пакета
Matlab. Для этого была использована функция
ode45
, в которой реализован
одношаговый явный метод Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим
выбором шага интегрирования. Как известно, достаточным условием
применимости этого метода является условие ограниченности правых частей
дифференциальных уравнений вместе с их частными производными четвѐртого
порядка. Для рассматриваемой системы уравнений это условие заведомо
выполнено.
Мы попытались путем подбора найти такие значения амплитуды
и
частоты
, при которых на некотором промежутке времени верхнее положение
двойного маятника оказывается устойчивым при ненулевых начальных
значениях.
Значения параметров, обеспечивающих устойчивость, были найдены, о
чем свидетельствуют представленные рисунки.
Промежуток времени, на котором были проинтегрированы уравнения
движения маятника и, как оказалось, в течение которого колебания маятника
остаются стабилизированными вблизи верхнего положения равновесия, в
несколько десятков раз превышал период собственных колебаний маятника.
Рис.2. Зависимость угла отклонения от времени первого маятника
