М а т е р и а л ы X I I В с е р о с с и й с к о й н а у ч н о - п р а к т и ч е с к о й к о н ф е р е н ц и и
П о с в я щ а е т с я 8 5 - л е т и ю в ы с ш е г о п е д а г о г и ч е с к о г о о б р а з о в а н и я в А р з а м а с е и
8 0 - л е т и ю п р о ф е с с о р а В я ч е с л а в а П а в л о в и ч а П у ч к о в а
471
̇
̇
̇
̇
̇
(6)
и запишем уравнения Эйлера-Лагранжа:
̇
.
(7)
Уравнения (7) представляют собой уравнения движения двойного
маятника:
̈
̈
̇
̈
̈
̇
,
(8)
в которых приняты следующие обозначения:
Систему уравнений (8) следует дополнить начальными условиями,
задавая
и
, а также
̇
и
̇
в начальный момент времени. Очевидно, что
при ненулевых начальных условиях верхнее положение двойного маятника
неустойчиво. (Оно является неустойчивым и при нулевых начальных условиях;
при этом любое изменение начальных условий приводит к тому, что маятник
приходит в движение и начинает совершать колебания в окрестности нижнего
положения равновесия). Попытаемся стабилизировать верхнее положение
равновесия, заставляя точку подвеса нижнего маятника совершать
гармонические колебания в вертикальном направлении по закону:
(9)
где величины
и
обозначают амплитуду и частоту колебаний оси маятника.
Идея стабилизации обычного (не двойного) перевернутого маятника
принадлежит П.Л. Капице[1, 2], который исследовал вопрос о динамической
устойчивости подобной системы. Им, в частности, было установлено, что
вибрации точки подвеса маятника эквивалентны моменту пары сил,
приложенных к маятнику. Вибрационный момент стремится установить
маятник так, чтобы его масса совершала движения вдоль той оси, по которой
происходят колебания точки подвеса маятника. Величина вибрационного
момента не зависит от длины маятника и в основном определяется той
кинетической энергией, которая была передана массе маятника в процессе
вибрации точки подвеса. П.Л. Капица также получил условие устойчивости
маятника вблизи верхнего положения равновесия в виде неравенства,
