" Н а у к а м о л о д ы х " , 2 6 н о я б р я 2 0 1 9 г . , А р з а м а с
П о с в я щ а е т с я 8 5 - л е т и ю в ы с ш е г о п е д а г о г и ч е с к о г о о б р а з о в а н и я в А р з а м а с е и
8 0 - л е т и ю п р о ф е с с о р а В я ч е с л а в а П а в л о в и ч а П у ч к о в а
470
Исследуем вопрос о возможности стабилизации двойного маятника
вблизи верхнего положения равновесия.
Рассмотрим так называемый перевернутый двойной математический
маятник, который представляет собою систему, состоящую из двух легких
стержней, соединенных между собой. Один из стержней (назовем его «первый
стержень») может вращаться вокруг горизонтальной оси. Другой стержень
(назовем его «второй стержень») может вращаться вокруг оси, проходящей
через нижний конец первого стержня, эта ось параллельна оси вращения
первого стержня. К тому концу каждого стержня, который противоположен
точке подвеса, прикреплен точечный груз. Инвертированный двойной маятник
совершает колебания вблизи своего верхнего положения равновесия.
Двойной маятник имеет два положения равновесия: «нижнее», при
котором оба стержня вертикальны, а грузы находятся ниже точек подвеса
стержней, и «верхнее», при котором стержни по-прежнему вертикальны, а
грузы находятся выше точек закрепления стержней.
Обозначим длины стержней
и
, массы грузов, прикрепленных к
концам стержней,
и
. Обозначим
и
координаты грузов
и
соответственно. Пусть
и
– углы отклонения стержней от вертикали.
Тогда
{
(1)
Кинетическая энергия маятника
̇
̇
̇
̇
точки вверху букв обозначают дифференцирование по времени.
Подставляя (1) в (2), найдем
̇
̇
̇
̇
̇
.
(3)
Потенциальная энергия маятника:
(4)
Подставляя (1) в (4), получим:
(5)
Вычислим функцию Лагранжа системы:
