Теплофизика и основы металлургической теплотехники - page 78

ТЕПЛОФИЗИКА И ОСНОВЫ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ
ТЕПЛОТЕХНИКИ
76
Согласно π-теореме общее количество чисел подобия r = n - K, количество
симплексов
( ) ( ) nNKn KN S − = − − − =
Для примера рассмотрим потери давления ∆Р (Па) при течении вязкой
жидкости внутри трубы. Они зависят от длины трубы l (м), средней скорости
ω (м/с), диаметра d (м), плотности жидкости ρ (кг/м3 ) и коэффициента
динамической вязкости µ (Па⋅с): ( )
µρ ω = ∆ , , , , d f P l . Общее количество величин,
участвующих в процессе N = 6, количество членов с неодинаковыми
размерностями n = 5, количество независимых единиц измерения
(в системе СИ – кг, м, с) K = 3. Тогда согласно π-теореме: количество чисел
подобия r = n – K = 5 – 3 = 2 (Eu, Re) и количество симплексов
S = N – n = 6 – 5 = 1 ( )d l .
Дальнейшим развитием π-теоремы является теория размерности. Она дает
указание по составлению чисел и симплексов подобия в тех случаях, когда
имеется экспериментальные данные, а дифференциальные уравнения,
описывающие процесс, отсутствуют.
В качестве примера применения теории размерностей используем исходную
зависимость ∆Р = f (l, ω, d, ρ, µ). Как указывалось выше, в соответствии
с π-теоремой она содержит один безразмерный симплекс и два числа подобия.
Размерности входящих в нее величин указаны выше. Из рассмотрения их
следует, что единственный симплекс idem d П = = l
1 . В соответствии со второй
теоремой подобия для определения двух оставшихся чисел подобия используем
следующее соотношение: ( ) ε δ β α µ ρ ωγ П dP ∆=
2 .
Дальнейшие подсчеты производим исходя из того условия,
для основных параметров с размерностями [кг], [м], [с] имеет место
соотношение 0 =++++ ε δ γ β α . Для размерности [кг] – 0 00 =++++ ε δ α .
Для размерности [м] – 0 3 =ε−δ−β+α. Для размерности [с] – −−+ γ 00 0 20 = −− ε .
Величина ∆Р является неизвестной и подлежит определению, поэтому α = 1.
Принимаем также β = 0. Решая систему уравнений, получим γ = -2, δ = -1, ε = 0.
После подстановки этих значений получаем известное число Эйлера
idem Eu = ∆= =2
2 П ρω P .
Принимая α = 0 и β = -1, получим γ = 1,0; δ = 1,0 и ε = -1. Откуда
аналогично предыдущему idem П = = = = ν ω µ ρ ω d d Re
3 - число Рейнольдса.
Таким образом, с помощью теории размерностей мы получили тот же
симплекс d l и те же числа подобия Eu и Re, что и найденные ранее обычным
методом. При использовании теории размерностей предварительно необходимо
выбирать, какие из имеющихся в нашем распоряжении величин, полученных
экспериментально, оказывают существенное влияние на процесс и какими
можно пренебречь. Это вносит некоторый элемент неопределенности и может
привести к ошибочным результатам.