" Н а у к а м о л о д ы х " , 3 0 - 3 1 м а р т а 2 0 1 7 г . , А р з а м а с
П о с в я щ а е т с я 1 0 0 - л е т и ю Р о с т и с л а в а Е в г е н ь е в и ч а А л е к с е е в а
552
после публикации работы [5]. В этой работе были высказаны две ключевые
идеи:
использование при синтезе регулятора дискретной модели системы,
основанной на линеаризации отображения Пуанкаре;
использование свойства рекуррентности хаотических траекторий и
применение управляющего воздействия только в те моменты времени, когда
траектория возвращается в некоторую окрестность требуемого состояния
заданной орбиты.
Математически выше подходы базируются на леммах Пью и Аносова,
сформулированных ниже. С целью увеличения строгости теории [1], введены
ряд определений.
Определение 1.
Замкнутое множество
n
R
⊂Ω
называется аттрактором
системы, если существует подмножество
Ω⊂Ω
0
открытое и такое, что все
траектории
)(
tx
системы, начинающиеся в
0
Ω
, определены для всех
t
≥ 0 и
стремятся к
Ω
при
∞→
t
. Никакое собственное подмножество
Ω
этим
свойством не обладает.
Определение 2.
Аттрактор называется хаотическим, если он ограничен и
любая начинающаяся на нем траектория неустойчива по Ляпунову.
Определение 3.
Система называется хаотической, если у нее существует
хотя бы один хаотический аттрактор.
Неустойчивость по Ляпунову характеризует основное свойство
хаотических колебаний, называемое «сверхчувствительностью» от начальных
условий — любые две сколь угодно близкие траектории обязательно удаляются
друг от друга на конечное расстояние. Для управления существенное значение
имеет свойство траекторий, называемое «рекуррентностью»: со временем эти
траектории попадают в сколь угодно малую окрестность своего положения в
прошлом.
Библиографический список
1. Учебники
1. Андриевский Б. Р. Управление хаосом: методы и приложение. Ч. I.
Методы. Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. —М.,2003.
2. Постников Н. С. Импульсный хаос в ядерных реакторах и кусочно-
линейных системах / Н. С. Постников // Математическое моделирование и
оптимальное управление. — Новгород, 2001.
2. Статьимеждународныхконференций
3. Harb A. M., Widyan M. S. Modern nonlinear Theory As applied to SSR of
the IEEE second Benchmark Model //Bologna PowerTech 2003 Conference. —
Bologna, 2003.
4. Vanecek A., Ctlikovsky S. Chaos synthesis via root locus // IEEE Trans.
Circ. Sysy. V. 41. —1994.—P. 59–60.
5. Ott E., Grebogi C., Yorke J. Controlling chaos //Phys. Lett. V. 64. —1990.
—P. 1196–1199.
