ТЕПЛОФИЗИКА И ОСНОВЫ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ
ТЕПЛОТЕХНИКИ
101
)
(
2
2
x t a t
∂ ∂ =∂∂
τ
.
(6.6)
Величина
а
носит наименование коэффициента температуропроводности и
имеет большое значение в теории нестационарной теплопроводности. Как
будет показано ниже, он характеризует скорость изменения энтальпии при
нагреве и охлаждении. Чем больше величина
а
тем быстрее выравнивается
температурное поле.
Если тепловой поток направлен не параллельно оси
x
, то предыдущее
уравнение примет следующий вид:
)
(
2
2
2
2
2
2
z t
y t
x t a t
∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂ =∂∂
τ
.
(6.7)
Это
и
будет
основное
уравнение
теплопроводности
или
уравнение Фурье–Киргофа.
Математическое решение уравнения (6.7) достаточно сложно. Поэтому оси
координат стремятся выбрать так, чтобы тепловой поток был направлен
параллельно какой-либо оси. Для цилиндра уравнение (6.7) примет вид:
)
(
2
2
rrt
r t a t
∂ ∂+ ∂ ∂ =∂∂
τ
(6.8)
и для шара
),
2
(
2
2
rrt
r t a t
∂ ∂+ ∂ ∂ =∂∂
τ
(6.9)
где
r
– переменный радиус цилиндра или шара.
Дальше рассмотрим решение уравнения (6.6) при стационарном
одномерном температурном поле. В этом случае температура во времени не
меняется и
0
=∂∂
τ
t
. Основное дифференциальное уравнение принимает
следующий вид:
0
2
2
= ∂ ∂
x t
.
Интегрируя эти два уравнения, получим
Ax t
=
δ
δ
и
t
=
Аx
+
В
,
(6.10)
где
А
и
В
– постоянные коэффициенты.
Из этого уравнения следует, что при стационарном тепловом поле
температура по оси
x
изменяется по закону прямой линии. Исходные данные
подведены на рис. 6.4.
Рассмотрим наиболее простой случай передачи тепла теплопроводностью в
стационарном тепловом поле (
0
=∂∂
τ
t
), однородном теле (
λ
= соnst) и
одномерном тепловом поле (
y
= 0 и
z
= 0). Путем разделения переменных
решим дифференциальное уравнение
q
= -
λ
dt
/
dx
при
x
= 0,
t
=
t
1
и
C
=
t
1
в
виде
t
= -
qx
/
λ
+
С
. Задавшись
x
=
δ
при
t
=
t
2
, получаем уравнение прямой линии
δ
λ
δ
λ
t
t t
q
∆= − =
)
(
2 1
.
(6.10)
Для примера рассмотрим передачу тепла через стенку, состоящую из трех
слоев (рис. 6.5). Имеем в наличии стационарное поле (
0
=τ∂∂
t
). Исходные
