ТЕПЛОФИЗИКА И ОСНОВЫ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ
ТЕПЛОТЕХНИКИ
100
Разделив переменные и проинтегрировав левую часть в пределах от 0 до
δ
(толщины стенки), получим
(
)
(
)
[
]
δ
2
2
2
1
2
1
5,0
t t
t t
q
− + − =
a
.
Закон Фурье позволяет вывести общее дифференциальное уравнение
распространения тепла теплопроводностью – уравнение Фурье–Киргофа.
Выделим в теле элементарный объем, причем координаты расположим так,
чтобы направление теплового потока было параллельным одной из осей,
например оси
x
(рис. 6.3); в выделенный объем входит тепловой поток
плотностью
q
1
, выходит
q
2
. Если
q
1
<
q
2
, то какое-то количество тепла будет
оставаться в элементарном объеме, температура его повышаться. Это случай
нагрева. Если же
q
1
<
q
2
, то тепло будет уходить из объема. Это случай
охлаждения. Количество тепла, которое остается в выделенном элементарном
объеме при
q
1
<
q
2
,
x
qdxdydzd
dQ
∂
−∂=
/
τ
.
(6.3)
Подставляя в это уравнение значение плотности теплового потока,
подсчитанное в соответствии с законом Фурье (6.2), получим
.
/
2
2
x
tdxdydzd
dQ
∂
∂=
τ
λ
(6.4)
Изменение температуры выделенного элементарного объема, связанное с
накоплением в нем тепла за элемент времени
d
τ
, определяется выражением
τ∂τ∂
/
td
, а количество тепла, которое необходимо для этого, будет определяться
τ
τ
ρ
τ
τ
ρ
d Cdtd
dxdydz
d tdCdV dQ
/
/
=
∂
=
,
(6.5)
где
ρ
– плотность, кг/м
3
;
С
– теплоемкость материала, Дж/(кг
⋅
К).
Рис. 6.3. Схема к выводу основного дифференциального
уравнения теплопроводности
Приравнивая величину
dQ
, полученную по этому уравнению, к величине,
найденной
по
уравнению
(6.3),
будем
иметь
τ
λ
τ
τ
dxdydzd
x t
d
dxdydzρxdy
) / (
2
2
∂ ∂ =∂
, сокращая уравнение на величину
dxdydz
и
перенеся величину
ρ
С
в правую часть, получим
2
2
) / (
x tC
t
∂ ∂
=∂∂
ρ
λ
τ
Вводя обозначение
λ
/
ρ
С
=
а
, получим окончательно
