ТЕПЛОФИЗИКА И ОСНОВЫ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКОЙ
ТЕПЛОТЕХНИКИ
103
цилиндрических поверхностей и многое другое. Для расчета используют
уравнение Фурье, которое является одномерным, если использовать
цилиндрические координаты
t
–
r
. Уравнение Фурье в этом случае имеет
следующий вид:
q
= -
λ
dt
/
dr
,
(6.12)
а тепловой поток
Q
равен
Q
=
Fq
= 2
π
rldt
/
dr
,
(6.13)
где
F
= 2
π
rl
– величина цилиндрической поверхности (
r
– радиус и
l
– длина цилиндра).
Проинтегрировав последнее уравнение при температурном перепаде и в
пределах изменения диаметра цилиндра от
d
2
(наружный диаметр)
до
d
1
(внутренний диаметр), получим
Q
=
∆
t
2
π
rl
/ln(
d
2
/
d
1
).
(6.14)
Отсюда следует, что для цилиндрической поверхности в отличие от
плоскости
Q
=
f
(
x
) имеет не прямолинейную, а логарифмическую форму.
Уравнение температуры при этом
tx
=
t
1
-
∆
t
ln
dx
/
d
1,
(6.15)
где
dx
– диаметр цилиндрической поверхности на расстоянии
x
. В том случае,
когда
t
1
<
t
2
, эта кривая направлена выпуклостью вверх.
Для полого цилиндра плотность теплового потока
q
=
Q
/
F
в зависимости от
того, к какой поверхности ее отнести, различна. Так, если для внутренней
поверхности площадь равна
F
1
=
π
d
1
l
, а для наружной
F
2
=
π
d
2
l
, то отсюда
q
1
=
Q
/
F
1
=
Q
/
π
d
1
l
= 2
λ∆
t
/
d
1
ln
d
2
/
d
1
;
q
2
=
Q
/
F
2
=
Q
/
π
d
2
l
= 2
λ∆
t
/
d
2
ln
d
2
/
d
1
.
(6.16)
В ряде случаев при
l
>>
d
тепловой поток относят к одному погонному
метру цилиндрической поверхности. В первую очередь, это относится к
протяженным трубопроводам. В этом случае мы имеем дело с линейной
плотностью теплового потока
q
l
, (Вт/м)
q
l
=
Q
/
l
=
q
π
dl
/
l
=
π
dq
.
(6.17)
Для
внутренней
поверхности
1 1 1
dq q
l
π=
,
а
для
наружной
поверхности
2 2 2
d q q
l
π =
.
Для тонких цилиндрических стенок при
d
2
/
d
1
≤
2 влиянием кривизны можно
пренебречь. В этом случае ведут расчет по формуле (6.10) для плоской стенки.
При подсчете плотности теплового потока толщину стенки принимают
равной 0,5(
d
2
–
d
1
), а среднюю площадь
F
m
= 0,5
π
l
(
d
1
+
d
2
).
Часто возникает необходимость в расчете передачи тепла в цилиндрических
многослойных плоских стенках. Плотность теплового потока
q
при
