" Н а у к а м о л о д ы х " , 3 0 - 3 1 м а р т а 2 0 1 7 г . , А р з а м а с
П о с в я щ а е т с я 1 0 0 - л е т и ю Р о с т и с л а в а Е в г е н ь е в и ч а А л е к с е е в а
520
Введем обозначения:
( )
( ) (
)
,
,
T t tu u
∈ =⋅
( )
( ) (
)
T t tx x
∈ =⋅
,
, которые будем
использовать в дальнейшем.
Определение 1. Пара
( )
(
)
⋅
u
,
α
и соответствующая ей траектория
( )
⋅
x
называются допустимыми, если они удовлетворяют всем ограничениям задачи
(2).
Определение 2.Оптимальными назывем допустимую пару
( )
(
)
⋅
0 0
,
u
α
и
соответствующую ей траекторию
( )
⋅
0
x
, на которых критерий качества
( )
u J
,
α
задачи (2) достигает максимума.
Определение 3. Допустимую пару
( )
(
)
⋅
ε
ε
α
u
,
, для которой выполняется
неравенство
( )
(
)
( )
(
)
ε
α
α
ε
ε
≤ ⋅
− ⋅
u J
u J
,
,
0 0
,
назовем
ε
-оптимальным
(субоптимальным) управлением.
Считаем, что
0
≠′
bd
, и ограничения задачи (1.2) удовлетворяют условию
типа Слейтера, т.е. для некоторого числа
0
>
δ
, любого
δ
<∆ ∈∆
g
Rg
m
,
,
существует такое кусочно-непрерывное управление
( )
⋅
u
, что вдоль него и
соответствующей ему траектории
( )
⋅
x
выполняются соотношения:
( )
1
<
tu
,
T t
∈
;
( )
g g txH
∆+=
*
.
В последние годы в связи с разработкой алгоритмов оптимального
управления
большое
внимание
уделяется
применению
методов
математического программирования. Суть этого подхода состоит в том, что
непрерывное описание процессов заменяется на дискретное описание. Затем
для решения получившейся задачи используют методы математического
программирования. В общем случае в алгоритме используются только значение
определенного набора функционалов от траектории. Проведем исследования
задачи (2), используя этот подход.
Если в задаче (2) с помощью формулы Коши исключить
( )
tx
,
T t
∈
, то
получим задачу линейного программирования в функциональном пространстве
управлений:
max
→−
α
,
( )
( ) ( )
α
τ
τ
α
≤
′
+
′ ≤−
∫
t
ub tFd x tFd
0
0
,
0,
,
( )
( )
( )
,
,
0,
0
0
g dt t bu t tHF x tHF
t
=
+
∫
∗
∗
∗
( )
1
≤
tu
,
T t
∈
.
или
max
→−
α
,
( ) ( )
( )
0
0
0,
,
x tFd
dt
ub tFd
t
′−≤−
′
∫
α
τ
τ
,
(3)
